유클리드 원론 · 제2권 · 명제 14
작도하라.
주어진 직선도형과 같은 정사각형을 세워라.
- 주어진 것
- 직선도형 A.
- 해야 할 것
- A 와 같은 정사각형을 작도하는 것.
작도.
(1)직선도형 A 와 같고 각이 직각인 평행사변형 — 직사각형 BCDE — 를 만든다.I.45
(2)BE = ED 이면 그것이 이미 정사각형이므로 끝난 것이다. 그렇지 않다고 하고, BE 가 크다고 하자.(1), 정의 22, 약속
(3)BE 를 F 까지 연장하고, EF = ED 로 잡는다.공준 2, I.3
(4)BF 를 G 에서 이등분하고, 중심 G, 반지름 GB 로 원을 그린다.I.10, 공준 3
(5)DE 를 연장하여 원과 만나는 점을 H 라 하고, G 와 H 를 잇는다.공준 2, 약속, 공준 1
(6)직선 BF 는 G 에서 같게, E 에서 다르게 잘려 있으므로, BE·EF 직사각형과 EG 위 정사각형의 합은 GF 위 정사각형과 같다.(3), (4), II.5
(7)GF = GH (같은 원의 반지름) 이므로, 그 합은 GH 위 정사각형과 같다.(4), (5), 정의 15, 공통관념 1
(8)E 의 각은 직각이므로, GH 위 정사각형은 GE 위 정사각형과 EH 위 정사각형의 합과 같다.(1), (5), I.47
(9)그러므로 BE·EF 직사각형과 EG 위 정사각형의 합은 GE 위 정사각형과 EH 위 정사각형의 합과 같고, 공통인 GE 위 정사각형을 빼면 BE·EF 직사각형은 EH 위 정사각형과 같다.(6), (7), (8), 공통관념 3
(10)EF = ED 이므로 BE·EF 직사각형은 직사각형 BD 와 같고, BD 는 주어진 도형 A 와 같다. 그러므로 EH 위 정사각형이 주어진 직선도형 A 와 같다.(1), (3), (9), 공통관념 1
EH 위 정사각형직사각형 BD도형 A
이것이 해야 했던 작도다.∎
비고
구적 문제의 정점이다. 어떤 직선도형이 오든 — 삼각형이든 스무 개의 변을 가진 도형이든 — I.45 가 직사각형으로 펴고, 이 명제가 정사각형 하나로 바꾼다. 모든 직선 넓이가 정사각형 한 변의 길이로 잰다. 그렇다면 원은. 같은 도구(자와 컴퍼스)로 원과 같은 정사각형을 만드는 문제는 여기서 자연스럽게 태어나 2000년을 달렸고, 1882년 린데만이 π 가 초월수임을 증명하며 불가능으로 닫혔다. 2권의 마지막 명제가 다음 2000년의 문제를 여는 자리다.