유클리드 원론 · 제1권 · 명제 20
증명하라.
어느 삼각형에서든, 어떻게 잡아도 두 변의 합은 남은 한 변보다 크다.
- 주어진 것
- 삼각형 ABC.
- 보여야 할 것
- BA + AC > BC, AB + BC > CA, BC + CA > AB 임을 보이는 것.
증명.
(1)직선 BA 를 A 너머 D 까지 연장하되, AD 가 AC 와 같게 잡는다.공준 2, I.3
(2)D 와 C 를 직선으로 잇는다.공준 1
(3)AD = AC 이므로, 삼각형 ADC 에서 ∠ADC = ∠ACD 이다.(1), I.5
(4)∠BCD 는 ∠ACD 를 부분으로 가지므로 그보다 크다.공통관념 5
(5)그러므로 ∠BCD 는 ∠BDC 보다 크다.(3), (4)
(6)삼각형 DCB 에서 ∠BCD 가 ∠BDC 보다 크고, 큰 각과 마주보는 변이 더 크다. 그러므로 DB > BC 이다.(5), I.19
(7)DB 는 BA 와 AD 의 합이고 AD = AC 이므로, BA + AC > BC 이다.(1), (6)
(8)같은 방법으로 AB + BC > CA 이고, BC + CA > AB 이다.(7)
이것이 보여야 했던 것이다.∎
비고
프로클로스가 전하기를, 에피쿠로스학파는 이 명제를 두고 원론을 조롱했다. 당나귀도 아는 것을 증명하고 있다는 것이다. 건초 더미를 본 당나귀는 두 변을 돌아가지 않고 남은 한 변으로 곧장 걸어간다. 원론의 답은 이 책의 성격 그 자체다. 자명함은 증명 면제 사유가 아니다. 눈에 보이는 것과 체계 안에서 참인 것은 서로 다른 문제이고, 원론이 쌓는 것은 후자다. 눈은 지금 그려진 한 그림을 보지만, 증명은 모든 삼각형에 대해 공준과 앞선 명제만으로 말한다. 그래서 이 명제는 믿음이 아니라 정리다 — 이등변(I.5)과 각·변의 대소(I.19)에서 끌어낸, 근거를 전부 댈 수 있는 정리. 당나귀는 결론만 알지만, 원론은 그 결론이 어디에 서 있는지까지 안다.