유클리드 원론 · 제1권 · 명제 21
증명하라.
삼각형의 한 변의 두 끝점에서 삼각형 안의 한 점으로 두 직선을 이으면, 그 두 직선의 합은 삼각형의 남은 두 변의 합보다 작고, 그 두 직선이 낀 각은 남은 두 변이 낀 각보다 크다.
- 주어진 것
- 삼각형 ABC. 변 BC 의 두 끝점 B, C 에서 안의 점 D 로 직선 BD, DC 를 이었다.
- 보여야 할 것
- BD + DC < BA + AC 이고 ∠BDC > ∠BAC 임을 보이는 것.
증명.
(1)직선 BD 를 D 너머로 연장하여, 변 AC 와 만나는 점을 E 라 한다.공준 2, 약속
(2)삼각형 ABE 에서 두 변 BA, AE 의 합은 남은 변 BE 보다 크다.I.20
(3)양쪽에 EC 를 더하면, BA + AC > BE + EC 이다.(2)
(4)삼각형 CED 에서 두 변 CE, ED 의 합은 남은 변 CD 보다 크다.I.20
(5)양쪽에 DB 를 더하면, CE + EB > CD + DB 이다.(4)
(6)그런데 BA + AC > BE + EC 임을 이미 보였다. 그러므로 BA + AC 는 BD + DC 보다 훨씬 크다.(3), (5)
(7)삼각형 CDE 에서 외각 ∠BDC 는 안의 마주보는 각 ∠CED 보다 크다.I.16
(8)같은 이유로 삼각형 ABE 에서 외각 ∠CEB 는 안의 마주보는 각 ∠BAE 보다 크다. ∠CEB 는 ∠CED 와 같은 각이다.I.16, (1)
(9)그러므로 ∠BDC 는 ∠BAC 보다 훨씬 크다.(7), (8)
∠BDC > ∠BAC∠BAC
이것이 보여야 했던 것이다.∎