유클리드 원론 · 제1권 · 명제 15
증명하라.
두 직선이 서로 만나 자르면, 맞꼭지각들을 서로 같게 만든다.
- 주어진 것
- 두 직선 AB 와 CD 가 점 E 에서 서로 만난다.
- 보여야 할 것
- ∠AEC = ∠DEB 이고 ∠CEB = ∠AED 임을 보이는 것.
증명.
(1)직선 AE 가 직선 CD 위에 서서 ∠CEA 와 ∠AED 를 만들므로, 두 각의 합은 두 직각과 같다.I.13
(2)또 직선 DE 가 직선 AB 위에 서서 ∠AED 와 ∠DEB 를 만들므로, 그 합도 두 직각과 같다.I.13
(3)모든 직각은 서로 같으므로, ∠CEA 와 ∠AED 의 합은 ∠AED 와 ∠DEB 의 합과 같다.(1), (2), 공준 4, 공통관념 1
(4)양쪽에서 공통인 ∠AED 를 빼면, 나머지 ∠CEA 는 ∠BED 와 같다. 이것이 맞꼭지각이다.(3), 공통관념 3
(5)마찬가지로 ∠CEB 와 ∠DEA 도 같음을 보일 수 있다.I.13, 공통관념 3
맞꼭지각 ∠CEB = ∠DEA
이것이 보여야 했던 것이다.∎