유클리드 원론 · 제1권 · 명제 16
증명하라.
어느 삼각형에서든 한 변을 연장하면, 외각은 안쪽의 마주보는 두 각 각각보다 크다.
- 주어진 것
- 삼각형 ABC.
- 보여야 할 것
- 변 BC 를 D 까지 연장했을 때, 외각 ∠ACD 가 안쪽의 마주보는 각 ∠CBA 와 ∠BAC 각각보다 큼을 보이는 것.
증명.
(1)변 BC 를 C 너머 D 까지 곧게 연장한다.공준 2
(2)AC 를 E 에서 이등분한다.I.10
(3)B 와 E 를 잇고, BE 를 E 너머 F 까지 연장하여 EF 를 BE 와 같게 한다.공준 1, 공준 2, I.3
(4)F 와 C 를 직선으로 잇는다.공준 1
(5)삼각형 ABE 와 삼각형 CFE 에서, AE = EC, BE = EF 이고, 맞꼭지각 ∠AEB 와 ∠FEC 는 서로 같다.(2), (3), I.15
(6)두 변과 낀 각이 각각 같으므로 두 삼각형은 같고, ∠BAE 는 ∠ECF 와 같다.(5), I.4
(7)∠ECD 는 ∠ECF 를 부분으로 품는다. 전체는 부분보다 크므로 ∠ECD 는 ∠ECF 보다 크다.공통관념 5
(8)그러므로 외각 ∠ACD 는 안쪽의 마주보는 각 ∠BAC 보다 크다.(6), (7)
(9)마찬가지로 BC 를 이등분하고 AC 를 C 너머 G 까지 연장하면, ∠BCG 가 ∠ABC 보다 큼을 보일 수 있다.I.10, 공준 2
(10)∠BCG 와 ∠ACD 는 맞꼭지각이므로 서로 같다. 그러므로 외각 ∠ACD 는 안쪽의 마주보는 각 ∠ABC 보다도 크다.(9), I.15
맞꼭지각 ∠BCG = ∠ACD∠ACD > ∠ABC
이것이 보여야 했던 것이다.∎
비고
이 정리는 공준 5를 쓰지 않는다. 앞의 열다섯 편이 그렇듯 평행선 공준 없이 서는 중립 기하의 정리이고, 그중에서도 가장 멀리 나간 최전선 도구다 — I.17의 두 각, I.18의 대소 비교, I.27의 평행 판정이 전부 이 외각 정리 위에 선다. 그런데 구면에서는 이 정리가 큰 삼각형에서 깨진다. 꼭짓점을 충분히 벌린 구면 삼각형은 외각보다 큰 내각을 가질 수 있다. 증명의 어디가 구면에서 무너지는가. 공준 2의 해석이다 — 'BE 를 곧게 연장할 수 있다'까지는 구면에서도 되지만, 이 증명은 두 배로 늘인 F 가 그만큼 '더 멀리' 가서 각 ∠ECD 안쪽에 떨어진다고 말없이 가정한다. 구면의 직선(대원)은 유한하고 닫혀 있어, 큰 삼각형에서는 늘인 F 가 반대편으로 돌아 나가 버린다. 연장을 '얼마든지, 겹치지 않고'로 읽을 수 있는 세계에서만 이 증명은 산다.