유클리드 원론 · 제1권 · 명제 6
증명하라.
삼각형의 두 각이 서로 같으면, 같은 각과 마주보는 두 변도 서로 같다.
- 주어진 것
- 삼각형 ABC. ∠ABC = ∠ACB.
- 보여야 할 것
- AB = AC 임을 보이는 것.
증명.
(1)만약 AB ≠ AC 라면, 둘 중 하나가 크다. AB 가 크다고 하자.약속
(2)큰 AB 에서 작은 AC 와 같은 DB 를 잘라 낸다.(1), I.3
(3)D 와 C 를 직선으로 잇는다.공준 1
(4)삼각형 DBC 와 삼각형 ACB 에서, DB = AC 이고 밑변 BC 는 공통이며 ∠DBC = ∠ACB 이다.(2), 가정
(5)두 변과 낀 각이 각각 같으므로, 삼각형 DBC 와 삼각형 ACB 는 같다.(4), I.4
(6)그러나 삼각형 DBC 는 삼각형 ACB 의 부분이다. 작은 것이 큰 것과 같다는 것은 불합리하다.(5), 공통관념 5
(7)그러므로 AB ≠ AC 라는 가정은 거짓이고, AB = AC 이다.(1), (6)
AB = AC
이것이 보여야 했던 것이다.∎
비고
책에서 처음 등장하는 귀류법이다. 보이고 싶은 것의 반대를 참이라 두고, 체계가 스스로 무너지는 것을 지켜본다. 그림을 보라 — D 는 A 바로 곁에 붙어 있다. 반대를 가정하는 순간 삼각형 안에 자기와 같은 크기의 부분이 생기고, 전체는 부분보다 크다는 공통관념 5가 그것을 부순다. 그리고 이 명제는 I.5를 뒤집은 역이다. 원론은 역을 공짜로 주지 않는다. 명제가 참이어도 그 역은 별도의 증명 전까지 아무것도 아니다.