유클리드 원론 · 제1권 · 명제 2
작도하라.
주어진 점에 주어진 직선과 같은 직선을 놓아라.
- 주어진 것
- 점 A 와 직선 BC.
- 해야 할 것
- A 를 한 끝으로 하고 BC 와 같은 직선을 놓는 것.
작도.
(1)A 에서 B 로 직선 AB 를 긋는다.공준 1
(2)AB 위에 등변삼각형 DAB 를 세운다.I.1
(3)직선 DA 를 A 너머로, DB 를 B 너머로 곧게 연장한다.공준 2
(4)중심 B, 반지름 BC 로 원을 그리고, DB 의 연장선과 만나는 점을 G 라 한다.공준 3, 약속
(5)중심 D, 반지름 DG 로 원을 그리고, DA 의 연장선과 만나는 점을 L 이라 한다.공준 3, 약속
(6)B 는 첫째 원의 중심이므로 BC = BG 이다.정의 15
(7)D 는 둘째 원의 중심이므로 DL = DG 이다.정의 15
(8)DAB 는 등변삼각형이므로 DA = DB 이다.(2), 정의 20
(9)같은 DL, DG 에서 같은 DA, DB 를 각각 빼면, 나머지 AL 과 BG 는 같다.(7), (8), 공통관념 3
(10)AL 과 BC 는 모두 BG 와 같으므로, AL = BC 이다.(6), (9), 공통관념 1
(11)그러므로 주어진 점 A 에 주어진 직선 BC 와 같은 직선 AL 이 놓였다.(10)
놓인 AL = BC주어진 점 A
이것이 해야 했던 작도다.∎
비고
왜 이렇게 멀리 도는가. 컴퍼스로 BC 를 재어 A 로 들어 옮기면 한 번에 끝날 일이다. 그러나 공준 3 은 "주어진 중심과 주어진 반지름으로 원을 그릴 수 있다"고만 말한다. 종이에서 떼는 순간 접히는 컴퍼스다. 재어 옮기기는 공준에 없으므로, 옮기기 자체를 증명해야 한다. 그것이 이 명제다. I.2 가 증명된 다음부터는 길이를 마음껏 옮겨도 된다 — 바로 다음 I.3 이 그 첫 열매다.