증명 실험실 · 별관

유클리드 원론

기원전 300년경에 쓰인 이 책은 성경 다음으로 많이 인쇄된 책으로 꼽힙니다. 비결은 내용이 아니라 형식입니다. 믿을 것을 먼저 열 줄로 선언하고, 그다음의 모든 줄이 근거를 인용합니다. 여기서는 그 1·2권을 원서의 형식 그대로, 한 줄씩 걷습니다.

첫 장을 편다 — I.1 →

무대 선언

책 전체가 이 한 무대 위에서 진행됩니다. 아래에 없는 것은 62편의 어느 줄도 인용할 수 없습니다.

공준 — 할 수 있다고 약속한 것

공준 1임의의 점에서 임의의 점으로 직선을 그을 수 있다.
공준 2유한한 직선을 곧게 이어서 연장할 수 있다.
공준 3임의의 중심과 반지름으로 원을 그릴 수 있다.
공준 4모든 직각은 서로 같다.
공준 5한 직선이 두 직선과 만나 같은 쪽 내각의 합이 두 직각보다 작으면, 두 직선을 그쪽으로 한없이 연장할 때 그쪽에서 만난다.

공통관념 — 같음에 관한 약속

공통관념 1같은 것과 같은 것들은 서로 같다.
공통관념 2같은 것에 같은 것을 더하면 전체는 같다.
공통관념 3같은 것에서 같은 것을 빼면 나머지는 같다.
공통관념 4서로 포개어지는 것들은 서로 같다.
공통관념 5전체는 부분보다 크다.

정의 23 — 말을 먼저 만든다 (1권 머리)

정의 1점은 부분이 없는 것이다.
정의 2선은 폭이 없는 길이다.
정의 3선의 끝은 점이다.
정의 4직선은 그 위의 점들에 대하여 한결같이 놓인 선이다.
정의 5면은 길이와 폭만을 가진 것이다.
정의 6면의 끝은 선이다.
정의 7평면은 그 위의 직선들에 대하여 한결같이 놓인 면이다.
정의 8평면각은 한 평면 위에서 서로 만나되 한 직선 위에 있지 않은 두 선 사이의 기울어짐이다.
정의 9각을 이루는 두 선이 직선일 때, 그 각을 직선각이라 한다.
정의 10한 직선이 다른 직선 위에 서서 이웃한 두 각을 서로 같게 만들 때, 같은 두 각 각각을 직각이라 하고, 서 있는 직선을 수선이라 한다.
정의 11둔각은 직각보다 큰 각이다.
정의 12예각은 직각보다 작은 각이다.
정의 13경계는 어떤 것의 끝이다.
정의 14도형은 하나의 경계 또는 여러 경계로 둘러싸인 것이다.
정의 15원은 한 선으로 둘러싸인 평면도형으로, 그 안의 한 점에서 경계까지 그은 모든 직선이 서로 같은 것이다.
정의 16그 점을 원의 중심이라 한다.
정의 17지름은 중심을 지나 양쪽 원둘레에서 끝나는 직선이며, 원을 이등분한다.
정의 18반원은 지름과 그것이 잘라 낸 둘레로 둘러싸인 도형이다.
정의 19직선도형은 직선들로 둘러싸인 도형이다. 셋이면 삼변형, 넷이면 사변형, 그보다 많으면 다변형이다.
정의 20삼변형 가운데 세 변이 같은 것은 등변삼각형, 두 변만 같은 것은 이등변삼각형, 세 변이 모두 다른 것은 부등변삼각형이다.
정의 21삼변형 가운데 직각을 가진 것은 직각삼각형, 둔각을 가진 것은 둔각삼각형, 세 각이 모두 예각인 것은 예각삼각형이다.
정의 22사변형 가운데 등변이고 직각인 것은 정사각형, 직각이지만 등변이 아닌 것은 직사각형, 등변이지만 직각이 아닌 것은 마름모다. 마주보는 변과 각만 같은 것은 마름모꼴이고, 나머지는 부등변사각형이라 한다.
정의 23평행선은 같은 평면에 있으면서 양쪽으로 한없이 연장하여도 어느 쪽에서도 서로 만나지 않는 직선들이다.

정의 2 — 2권 머리에서 추가되는 말

II.정의 1직각으로 둘러싸인 평행사변형은 직각을 낀 두 직선으로 둘러싸였다고 말한다.
II.정의 2평행사변형에서 대각선 위의 평행사변형 하나와 두 보형을 합친 전체를 그노몬이라 부른다.

공준 5를 빼면, 이 책의 어디까지가 살아남을까요?

다섯째 공준만 유난히 길고 어색합니다. 2000년 동안 수학자들은 이것이 공준이 아니라 정리일 거라 믿고 증명을 시도했습니다. 유클리드 자신도 이 공준을 아꼈습니다 — 명제 28까지는 한 번도 쓰지 않습니다.

제1권 — 삼각형에서 피타고라스까지

명제 48편. 등변삼각형의 작도에서 출발해 피타고라스 정리와 그 역에서 끝납니다.

제2권 — 기하로 쓴 대수

명제 14편. 문자가 없던 시대의 곱셈공식과 코사인법칙이 직사각형의 언어로 적혀 있습니다.

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