유클리드 원론 · 제1권 · 명제 33
증명하라.
같고 평행한 두 직선의 같은 쪽 끝을 잇는 직선들은, 그 자신도 같고 평행하다.
- 주어진 것
- 같고 평행한 두 직선 AB, CD. 같은 쪽 끝끼리 직선 AC 와 BD 로 잇는다.
- 보여야 할 것
- AC 와 BD 도 같고 평행함을 보이는 것.
증명.
(1)B 와 C 를 직선으로 잇는다.공준 1
(2)AB 와 CD 는 평행하고 BC 가 그 둘을 가로지르므로, 엇각 ∠ABC = ∠BCD 이다.가정, I.29
(3)삼각형 ABC 와 DCB 에서, AB = DC 이고 BC 는 공통이며, 낀 각 ∠ABC = ∠DCB 이다.가정, (2)
(4)그러므로 밑변 AC = BD 이고 두 삼각형은 같으며, 나머지 각들도 각각 같다 — ∠ACB = ∠DBC 이다.(3), I.4
(5)직선 BC 가 두 직선 AC, BD 와 만나 엇각 ∠ACB 와 ∠CBD 를 서로 같게 만든다. 그러므로 AC 는 BD 와 평행하다.(4), I.27
(6)AC = BD 임은 이미 보였다. 그러므로 AC 와 BD 는 같고 평행하다.(4), (5)
같고 평행하다
이것이 보여야 했던 것이다.∎