유클리드 원론 · 제1권 · 명제 4
증명하라.
두 삼각형에서 두 변이 각각 같고 그 두 변이 낀 각이 같으면, 밑변도 같고, 삼각형 전체도 같으며, 같은 변과 마주보는 나머지 각들도 각각 같다.
- 주어진 것
- 삼각형 ABC 와 DEF. AB = DE, AC = DF, ∠BAC = ∠EDF.
- 보여야 할 것
- BC = EF 이고, 두 삼각형이 같으며, ∠ABC = ∠DEF, ∠ACB = ∠DFE 임을 보이는 것.
증명.
(1)삼각형 ABC 를 삼각형 DEF 위에 포갠다 — 점 A 를 점 D 에 놓고, 직선 AB 를 직선 DE 에 맞춘다.약속
(2)AB = DE 이므로 점 B 는 점 E 에 겹친다.가정, (1)
(3)∠BAC = ∠EDF 이므로 직선 AC 는 직선 DF 위에 놓인다.가정, (1)
(4)AC = DF 이므로 점 C 는 점 F 에 겹친다.가정, (3)
(5)B 가 E 에, C 가 F 에 겹치므로 밑변 BC 는 밑변 EF 에 겹친다. 겹치지 않는다면 두 점을 잇는 서로 다른 두 직선이 있게 되어, 두 점을 잇는 직선은 하나뿐이라는 것에 어긋난다.(2), (4), 공준 1
(6)겹쳐지므로 BC = EF 이다.(5), 공통관념 4
(7)삼각형 전체가 삼각형 전체에 겹쳐지므로 두 삼각형은 같고, 나머지 각들도 각각 겹쳐져 같다 — ∠ABC = ∠DEF, ∠ACB = ∠DFE.(2), (4), (5), 공통관념 4
AB = DEAC = DFBC = EF
이것이 보여야 했던 것이다.∎
비고
포갠다는 것은 어느 공준에 있는가. 없다. 도형을 들어 옮겨도 변하지 않는다는 가정은 다섯 공준 어디에도 없고, 유클리드 자신도 이 방법을 꺼려 책 전체에서 단 세 번(I.4, I.8, III.24)만 썼다. 현대의 해결은 정직하다 — 힐베르트의 공리계는 SAS 를 증명하기를 포기하고 공리로 채택했다. 증명할 수 없는 것은 출발점의 목록에 올려야 한다. 그 대신 이 정리는 원론 전체에서 가장 많이 인용되는 도구가 된다. 바로 다음 I.5 부터 두 번 쓰인다.