유클리드 원론 · 제1권 · 명제 5
증명하라.
이등변삼각형의 두 밑각은 서로 같다. 그리고 같은 두 변을 연장하면, 밑변 아래의 두 각도 서로 같다.
- 주어진 것
- 삼각형 ABC. AB = AC.
- 보여야 할 것
- ∠ABC = ∠ACB 이고, AB·AC 를 연장했을 때 밑변 아래의 두 각도 같음을 보이는 것.
증명.
(1)직선 AB 를 B 너머 D 까지, AC 를 C 너머 E 까지 곧게 연장한다.공준 2
(2)BD 위에 임의의 점 F 를 잡는다.약속
(3)큰 AE 에서 작은 AF 와 같은 AG 를 잘라 낸다.I.3
(4)F 와 C 를, G 와 B 를 직선으로 잇는다.공준 1
(5)삼각형 AFC 와 AGB 에서, AF = AG 이고 AB = AC 이며 ∠FAG 는 두 삼각형에 공통이다.(3), 가정
(6)그러므로 밑변 FC = GB 이고 두 삼각형은 같으며, ∠ACF = ∠ABG, ∠AFC = ∠AGB 이다.(5), I.4
(7)같은 AF, AG 에서 같은 AB, AC 를 각각 빼면, 나머지 BF 와 CG 는 같다.(3), 가정, 공통관념 3
(8)삼각형 BFC 와 CGB 에서, BF = CG, FC = GB 이고 ∠BFC = ∠CGB 이다.(6), (7)
(9)그러므로 두 삼각형은 같고, ∠FBC = ∠GCB, ∠BCF = ∠CBG 이다.(8), I.4
(10)같은 ∠ABG, ∠ACF 에서 같은 ∠CBG, ∠BCF 를 각각 빼면, 나머지 ∠ABC 와 ∠ACB 는 같다. 이것이 밑각이다.(6), (9), 공통관념 3
(11)밑변 아래의 두 각 ∠FBC 와 ∠GCB 가 같음은 이미 보였다.(9)
밑변 아래의 두 각 (9)
이것이 보여야 했던 것이다.∎
비고
중세 대학은 이 명제를 pons asinorum, 당나귀의 다리라 불렀다. 여기를 건너지 못하면 뒤로 갈 수 없었기 때문이다. 다리의 구조를 보라 — 대칭을 증명하는 데 대칭을 쓰지 않는다. 삼각형을 접거나 뒤집는 대신, 두 변을 연장해 더 큰 두 삼각형을 짓고 I.4 를 두 번 내려친다. 접기가 왜 없는가. 접기는 포갬이고, 포갬은 I.4 안에 이미 봉인되어 있다. 의심스러운 도구는 한 곳에 가두고, 그다음부터는 정리만 인용한다.