유클리드 원론 · 제1권 · 명제 17
증명하라.
어느 삼각형에서든, 어떻게 골라도 두 각의 합은 두 직각보다 작다.
- 주어진 것
- 삼각형 ABC.
- 보여야 할 것
- 삼각형의 어느 두 각을 골라도 그 합이 두 직각보다 작음을 보이는 것.
증명.
(1)변 BC 를 C 너머 D 까지 곧게 연장한다.공준 2
(2)∠ACD 는 삼각형 ABC 의 외각이므로, 안쪽의 마주보는 각 ∠ABC 보다 크다.(1), I.16
(3)양쪽에 ∠ACB 를 더하면, ∠ACD 와 ∠ACB 의 합은 ∠ABC 와 ∠BCA 의 합보다 크다.(2), 공통관념 2
(4)그런데 직선 AC 가 직선 BD 위에 서 있으므로, ∠ACD 와 ∠ACB 의 합은 두 직각과 같다.(1), I.13
(5)그러므로 ∠ABC 와 ∠BCA 의 합은 두 직각보다 작다.(3), (4)
(6)마찬가지로 ∠BAC 와 ∠ACB 의 합도, ∠CAB 와 ∠ABC 의 합도 두 직각보다 작다.I.16, I.13, 공통관념 2
∠BAC + ∠ACB 도 두 직각보다 작다∠CAB + ∠ABC 도 마찬가지
이것이 보여야 했던 것이다.∎