유클리드 원론 · 제1권 · 명제 9

작도하라.

주어진 직선각을 이등분하라.

주어진 것: 각 BAC.
해야 할 것: 이 각을 같은 두 각으로 나누는 직선을 긋는 것.

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쓸 수 있는 것

공준

공준 1임의의 점에서 임의의 점으로 직선을 그을 수 있다.
공준 2유한한 직선을 곧게 이어서 연장할 수 있다.
공준 3임의의 중심과 반지름으로 원을 그릴 수 있다.
공준 4모든 직각은 서로 같다.
공준 5한 직선이 두 직선과 만나 같은 쪽 내각의 합이 두 직각보다 작으면, 두 직선을 그쪽으로 한없이 연장할 때 그쪽에서 만난다.

공통관념

공통관념 1같은 것과 같은 것들은 서로 같다.
공통관념 2같은 것에 같은 것을 더하면 전체는 같다.
공통관념 3같은 것에서 같은 것을 빼면 나머지는 같다.
공통관념 4서로 포개어지는 것들은 서로 같다.
공통관념 5전체는 부분보다 크다.

이 명제가 쓰는 정의

정의 20삼변형 가운데 세 변이 같은 것은 등변삼각형, 두 변만 같은 것은 이등변삼각형, 세 변이 모두 다른 것은 부등변삼각형이다.

이미 증명한 것

이 목록에 없는 것은 인용할 수 없다. 정의 23개 전체는 목차의 무대 선언에 있다.

쓸 수 있는 것

공준

공준 1임의의 점에서 임의의 점으로 직선을 그을 수 있다.
공준 2유한한 직선을 곧게 이어서 연장할 수 있다.
공준 3임의의 중심과 반지름으로 원을 그릴 수 있다.
공준 4모든 직각은 서로 같다.
공준 5한 직선이 두 직선과 만나 같은 쪽 내각의 합이 두 직각보다 작으면, 두 직선을 그쪽으로 한없이 연장할 때 그쪽에서 만난다.

공통관념

공통관념 1같은 것과 같은 것들은 서로 같다.
공통관념 2같은 것에 같은 것을 더하면 전체는 같다.
공통관념 3같은 것에서 같은 것을 빼면 나머지는 같다.
공통관념 4서로 포개어지는 것들은 서로 같다.
공통관념 5전체는 부분보다 크다.

이 명제가 쓰는 정의

정의 20삼변형 가운데 세 변이 같은 것은 등변삼각형, 두 변만 같은 것은 이등변삼각형, 세 변이 모두 다른 것은 부등변삼각형이다.

이미 증명한 것

이 목록에 없는 것은 인용할 수 없다. 정의 23개 전체는 목차의 무대 선언에 있다.

작도.

(1)AB 위에 임의의 점 D 를 잡는다.약속

(2)AC 에서 AD 와 같은 AE 를 잘라 낸다.I.3

(3)D 와 E 를 직선으로 잇는다.공준 1

(4)DE 위에, A 의 반대쪽으로, 등변삼각형 DEF 를 세운다.I.1

(5)A 와 F 를 직선으로 잇는다.공준 1

(6)삼각형 ADF 와 삼각형 AEF 에서, AD = AE 이고 AF 는 공통이며, 밑변 DF 와 EF 는 등변삼각형의 변이므로 같다.(2), (4), 정의 20

(7)세 변이 각각 같으므로 ∠DAF = ∠EAF 이다.(6), I.8

(8)그러므로 직선 AF 가 각 BAC 를 이등분한다.(7)

같아진 두 각 (7)이등분선 AF

이것이 해야 했던 작도다.∎

비고

자와 컴퍼스는 각을 이등분한다 — 그러면 삼등분은. 원론에 삼등분 작도는 없다. 그리스인들이 찾지 못해서가 아니라 있을 수 없어서였는데, 그 사실이 증명된 것은 2100년 뒤인 1837년(방첼)이다. 어떤 작도가 가능한지의 경계는 기하가 아니라 대수(체의 확장)가 그었다. 자와 컴퍼스라는 규칙을 정한 순간, 할 수 있는 일의 목록은 이미 정해져 있었던 셈이다.