유클리드 원론 · 제1권 · 명제 8
증명하라.
두 삼각형에서 두 변이 각각 같고 밑변도 서로 같으면, 같은 두 변이 낀 각도 서로 같다.
- 주어진 것
- 삼각형 ABC 와 DEF. AB = DE, AC = DF, BC = EF.
- 보여야 할 것
- ∠BAC = ∠EDF 임을 보이는 것.
증명.
(1)삼각형 ABC 를 삼각형 DEF 위에 포갠다 — 점 B 를 점 E 에 놓고, 직선 BC 를 직선 EF 에 맞춘다.약속
(2)BC = EF 이므로 점 C 는 점 F 에 겹친다.가정, (1)
(3)이때 꼭짓점 A 가 D 와 다른 자리에 떨어진다고 하자. 그러면 같은 밑변 EF 의 같은 쪽에, E 에서 나온 같은 두 직선과 F 에서 나온 같은 두 직선이 서로 다른 두 점에서 서게 된다.가정, (2)
(4)그것은 불가능함을 이미 증명했다. 그러므로 A 는 D 에 겹친다.(3), I.7
(5)세 꼭짓점이 모두 겹치므로 ∠BAC 는 ∠EDF 에 겹쳐지고, 따라서 같다.(2), (4), 공통관념 4
∠BAC = ∠EDF
이것이 보여야 했던 것이다.∎
비고
포갬이 다시 나왔다. 그러나 I.4 때와 무게가 다르다 — 그때는 포갬이 논증의 전부였지만, 여기서는 무거운 일을 I.7이 대신한다. A 가 D 가 아닌 곳에 떨어질 수 없다는 것을, 포갬이 아니라 정리가 보증한다. 의심스러운 도구의 몫을 한 편 한 편 정리로 갈아 끼우는 것 — 1권 앞부분의 숨은 줄거리다. 이로써 연장통에 합동 판정 둘(SAS·SSS)이 담겼고, 다음 네 편의 작도가 전부 이 둘로 지어진다.