유클리드 원론 · 제1권 · 명제 7
증명하라.
같은 직선 위에 세워져 같은 두 끝점에서 나온 두 직선과 각각 같은 다른 두 직선이, 같은 쪽의 서로 다른 점에서 세워질 수는 없다.
- 주어진 것
- 밑변 AB 위 같은 쪽의 두 점 C 와 D. AC = AD 이고 BC = BD 라고 가정한다.
- 보여야 할 것
- 그러한 서로 다른 두 점 C, D 는 있을 수 없음을 보이는 것.
증명.
(1)만약 가능하다면, AC = AD 이고 BC = BD 인 서로 다른 두 점 C, D 가 AB 의 같은 쪽에 있다고 하자.약속
(2)C 와 D 를 직선으로 잇는다.공준 1
(3)AC = AD 이므로, 삼각형 ACD 에서 ∠ACD = ∠ADC 이다.(1), I.5
(4)∠ACD 는 그 부분인 ∠DCB 보다 크다.공통관념 5
(5)그러므로 ∠ADC 도 ∠DCB 보다 크다.(3), (4)
(6)∠CDB 는 ∠ADC 를 부분으로 가지므로 그보다 크고, 따라서 ∠DCB 보다는 훨씬 크다.(5), 공통관념 5
(7)그런데 BC = BD 이므로, 삼각형 BCD 에서 ∠CDB = ∠DCB 이다.(1), I.5
(8)같은 각이 훨씬 클 수는 없다. 그러므로 처음의 가정은 불가능하다.(6), (7)
같으면서 훨씬 클 수는 없다
이것이 보여야 했던 것이다.∎
비고
이 그림은 거짓말이다 — 있을 수 없는 배치를 일부러 그려 놓고, 그것이 무너지는 것을 보인다. 귀류법의 그림은 늘 그렇다. 그리고 이 명제는 그 자체로 쓰이기 위해서가 아니라 바로 다음 I.8을 위해 존재한다. 원론은 정리를 쓰기 한 편 앞에서 발판을 미리 깎아 둔다. 덧붙이면, 유클리드의 논증은 D 가 삼각형 밖에 있는 경우 하나만 다룬다. D 가 안쪽에 떨어지는 경우는 다루지 않았다 — I.1의 교점처럼, 원론이 그림에 말없이 기댄 자리 중 하나다.