유클리드 원론 · 제1권 · 명제 18
증명하라.
어느 삼각형에서든 큰 변은 큰 각과 마주본다.
- 주어진 것
- 삼각형 ABC. 변 AC 가 변 AB 보다 크다.
- 보여야 할 것
- ∠ABC 가 ∠BCA 보다 큼을 보이는 것.
증명.
(1)AC 가 AB 보다 크므로, 큰 AC 에서 AB 와 같은 AD 를 잘라 낸다.가정, I.3
(2)B 와 D 를 직선으로 잇는다.공준 1
(3)∠ADB 는 삼각형 BCD 의 외각이므로, 안쪽의 마주보는 각 ∠DCB 보다 크다.(2), I.16
(4)AD = AB 이므로 삼각형 ABD 는 이등변이고, ∠ADB 는 ∠ABD 와 같다.(1), I.5
(5)그러므로 ∠ABD 도 ∠ACB 보다 크다.(3), (4)
(6)∠ABC 는 ∠ABD 를 부분으로 품으므로 그보다 크다. 그러므로 ∠ABC 는 ∠ACB 보다 더욱 크다.(5), 공통관념 5
전체 ∠ABC부분 ∠ABD∠ABC > ∠ACB
이것이 보여야 했던 것이다.∎