유클리드 원론 · 제1권 · 명제 12

작도하라.

주어진 무한한 직선에, 그 위에 있지 않은 주어진 점에서 수선인 직선을 그어라.

주어진 것: 무한한 직선 AB 와 그 위에 있지 않은 점 C.
해야 할 것: C 에서 AB 로 수선을 긋는 것.

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쓸 수 있는 것

공준

공준 1임의의 점에서 임의의 점으로 직선을 그을 수 있다.
공준 2유한한 직선을 곧게 이어서 연장할 수 있다.
공준 3임의의 중심과 반지름으로 원을 그릴 수 있다.
공준 4모든 직각은 서로 같다.
공준 5한 직선이 두 직선과 만나 같은 쪽 내각의 합이 두 직각보다 작으면, 두 직선을 그쪽으로 한없이 연장할 때 그쪽에서 만난다.

공통관념

공통관념 1같은 것과 같은 것들은 서로 같다.
공통관념 2같은 것에 같은 것을 더하면 전체는 같다.
공통관념 3같은 것에서 같은 것을 빼면 나머지는 같다.
공통관념 4서로 포개어지는 것들은 서로 같다.
공통관념 5전체는 부분보다 크다.

이 명제가 쓰는 정의

정의 10한 직선이 다른 직선 위에 서서 이웃한 두 각을 서로 같게 만들 때, 같은 두 각 각각을 직각이라 하고, 서 있는 직선을 수선이라 한다.
정의 15원은 한 선으로 둘러싸인 평면도형으로, 그 안의 한 점에서 경계까지 그은 모든 직선이 서로 같은 것이다.

이미 증명한 것

이 목록에 없는 것은 인용할 수 없다. 정의 23개 전체는 목차의 무대 선언에 있다.

쓸 수 있는 것

공준

공준 1임의의 점에서 임의의 점으로 직선을 그을 수 있다.
공준 2유한한 직선을 곧게 이어서 연장할 수 있다.
공준 3임의의 중심과 반지름으로 원을 그릴 수 있다.
공준 4모든 직각은 서로 같다.
공준 5한 직선이 두 직선과 만나 같은 쪽 내각의 합이 두 직각보다 작으면, 두 직선을 그쪽으로 한없이 연장할 때 그쪽에서 만난다.

공통관념

공통관념 1같은 것과 같은 것들은 서로 같다.
공통관념 2같은 것에 같은 것을 더하면 전체는 같다.
공통관념 3같은 것에서 같은 것을 빼면 나머지는 같다.
공통관념 4서로 포개어지는 것들은 서로 같다.
공통관념 5전체는 부분보다 크다.

이 명제가 쓰는 정의

정의 10한 직선이 다른 직선 위에 서서 이웃한 두 각을 서로 같게 만들 때, 같은 두 각 각각을 직각이라 하고, 서 있는 직선을 수선이라 한다.
정의 15원은 한 선으로 둘러싸인 평면도형으로, 그 안의 한 점에서 경계까지 그은 모든 직선이 서로 같은 것이다.

이미 증명한 것

이 목록에 없는 것은 인용할 수 없다. 정의 23개 전체는 목차의 무대 선언에 있다.

작도.

(1)직선 AB 를 기준으로 C 의 반대쪽에 임의의 점 D 를 잡는다.약속

(2)중심 C, 반지름 CD 로 원을 그리고, 원이 AB 와 만나는 두 점을 E, G 라 한다.공준 3, 약속

(3)EG 를 이등분하는 점을 H 라 한다.I.10

(4)C 와 H 를 잇고, C 와 E, C 와 G 도 직선으로 잇는다.공준 1

(5)삼각형 CHE 와 삼각형 CHG 에서, EH = HG 이고 HC 는 공통이며, 밑변 CE 와 CG 는 같은 원의 반지름이므로 같다.(2), (3), 정의 15

(6)세 변이 각각 같으므로 ∠CHE = ∠CHG 이다. 두 각은 이웃해 있다.(5), I.8

(7)이웃한 두 각이 같으므로 각각은 직각이고, CH 는 C 에서 AB 에 내린 수선이다.(6), 정의 10

직각 (정의 10)수선 CH

이것이 해야 했던 작도다.∎

비고

반대쪽 점 D 는 왜 필요한가. 반지름이 짧으면 원이 직선에 닿지 못한다. 반대쪽까지 건너가는 반지름을 잡아야 원이 직선을 확실히 가로지른다 — 다만 "가로지르면 만난다"는 보장 역시 공준에는 없다. I.1의 두 원처럼, 원과 직선의 교점도 그림이 대신 보증하고 있다. 여기까지가 연장통의 1차 완성이다. 등변삼각형·운반·잘라내기·SAS·SSS·이등분 둘·수선 둘 — 이 열 가지로 1권의 나머지 전부를 짓는다.