유클리드 원론 · 제1권 · 명제 11

작도하라.

주어진 직선 위의 주어진 점에서, 그 직선과 직각을 이루는 직선을 세워라.

주어진 것: 직선 AB 와 그 위의 점 C.
해야 할 것: C 에서 AB 와 직각을 이루는 직선을 세우는 것.

쓸 수 있는 것 펼치기

쓸 수 있는 것

공준

공준 1임의의 점에서 임의의 점으로 직선을 그을 수 있다.
공준 2유한한 직선을 곧게 이어서 연장할 수 있다.
공준 3임의의 중심과 반지름으로 원을 그릴 수 있다.
공준 4모든 직각은 서로 같다.
공준 5한 직선이 두 직선과 만나 같은 쪽 내각의 합이 두 직각보다 작으면, 두 직선을 그쪽으로 한없이 연장할 때 그쪽에서 만난다.

공통관념

공통관념 1같은 것과 같은 것들은 서로 같다.
공통관념 2같은 것에 같은 것을 더하면 전체는 같다.
공통관념 3같은 것에서 같은 것을 빼면 나머지는 같다.
공통관념 4서로 포개어지는 것들은 서로 같다.
공통관념 5전체는 부분보다 크다.

이 명제가 쓰는 정의

정의 10한 직선이 다른 직선 위에 서서 이웃한 두 각을 서로 같게 만들 때, 같은 두 각 각각을 직각이라 하고, 서 있는 직선을 수선이라 한다.
정의 20삼변형 가운데 세 변이 같은 것은 등변삼각형, 두 변만 같은 것은 이등변삼각형, 세 변이 모두 다른 것은 부등변삼각형이다.

이미 증명한 것

이 목록에 없는 것은 인용할 수 없다. 정의 23개 전체는 목차의 무대 선언에 있다.

쓸 수 있는 것

공준

공준 1임의의 점에서 임의의 점으로 직선을 그을 수 있다.
공준 2유한한 직선을 곧게 이어서 연장할 수 있다.
공준 3임의의 중심과 반지름으로 원을 그릴 수 있다.
공준 4모든 직각은 서로 같다.
공준 5한 직선이 두 직선과 만나 같은 쪽 내각의 합이 두 직각보다 작으면, 두 직선을 그쪽으로 한없이 연장할 때 그쪽에서 만난다.

공통관념

공통관념 1같은 것과 같은 것들은 서로 같다.
공통관념 2같은 것에 같은 것을 더하면 전체는 같다.
공통관념 3같은 것에서 같은 것을 빼면 나머지는 같다.
공통관념 4서로 포개어지는 것들은 서로 같다.
공통관념 5전체는 부분보다 크다.

이 명제가 쓰는 정의

정의 10한 직선이 다른 직선 위에 서서 이웃한 두 각을 서로 같게 만들 때, 같은 두 각 각각을 직각이라 하고, 서 있는 직선을 수선이라 한다.
정의 20삼변형 가운데 세 변이 같은 것은 등변삼각형, 두 변만 같은 것은 이등변삼각형, 세 변이 모두 다른 것은 부등변삼각형이다.

이미 증명한 것

이 목록에 없는 것은 인용할 수 없다. 정의 23개 전체는 목차의 무대 선언에 있다.

작도.

(1)CA 위에 임의의 점 D 를 잡는다.약속

(2)CB 에서 CD 와 같은 CE 를 잘라 낸다.I.3

(3)DE 위에 등변삼각형 FDE 를 세운다.I.1

(4)F 와 C 를 직선으로 잇는다.공준 1

(5)삼각형 DCF 와 삼각형 ECF 에서, DC = CE 이고 CF 는 공통이며, 밑변 DF 와 FE 는 등변삼각형의 변이므로 같다.(2), (3), 정의 20

(6)세 변이 각각 같으므로 ∠DCF = ∠ECF 이다. 두 각은 이웃해 있다.(5), I.8

(7)한 직선 위에 선 직선이 이웃한 두 각을 같게 만들면 그 각각은 직각이다. 그러므로 FC 는 C 에서 AB 에 세운 수선이다.(6), 정의 10

직각 (정의 10)수선 FC

이것이 해야 했던 작도다.∎

비고

직각이 무엇인지 돌아보라. 정의 10은 직각을 90°로 정의하지 않았다 — 원론에 각도의 눈금은 없다. 직각은 "이웃한 두 각이 같아지는 것", 순수하게 대칭으로 정의된 개념이다. 그래서 이 작도의 마지막 줄은 각을 재지 않는다. 두 각이 같음을 SSS 로 보이면, 정의가 곧바로 "그렇다면 직각이다"라고 말해 준다. 정의는 말을 만들고, 말이 일을 한다.