유클리드 원론 · 제1권 · 명제 13
증명하라.
한 직선이 다른 직선 위에 서서 각들을 만들면, 두 직각을 만들거나 합이 두 직각과 같은 두 각을 만든다.
- 주어진 것
- 직선 CD 와 그 위의 점 B. 직선 BA 가 B 에 서서 ∠CBA 와 ∠ABD 를 만든다.
- 보여야 할 것
- ∠CBA 와 ∠ABD 가 두 직각이거나, 그 합이 두 직각과 같음을 보이는 것.
증명.
(1)만약 ∠CBA 와 ∠ABD 가 서로 같다면, 두 각은 각각 직각이다.정의 10
(2)같지 않다고 하자. 점 B 에서 직선 CD 에 수선 BE 를 세운다.약속, I.11
(3)그러면 ∠CBE 와 ∠EBD 는 두 직각이다.(2), 정의 10
(4)∠CBE 는 두 각 ∠CBA, ∠ABE 와 같다. 양쪽에 ∠EBD 를 더하면, ∠CBE 와 ∠EBD 의 합은 세 각 ∠CBA, ∠ABE, ∠EBD 의 합과 같다.공통관념 2
(5)또 ∠DBA 는 두 각 ∠DBE, ∠EBA 와 같다. 양쪽에 ∠ABC 를 더하면, ∠DBA 와 ∠ABC 의 합도 같은 세 각의 합과 같다.공통관념 2
(6)같은 것과 같은 것들은 서로 같다. 그러므로 ∠CBE 와 ∠EBD 의 합은 ∠DBA 와 ∠ABC 의 합과 같다.(4), (5), 공통관념 1
(7)그런데 ∠CBE 와 ∠EBD 는 두 직각이다. 그러므로 ∠DBA 와 ∠ABC 의 합도 두 직각과 같다.(3), (6), 공통관념 1
∠DBA + ∠ABC두 직각 (3)
이것이 보여야 했던 것이다.∎
비고
이 명제 어디에도 180°가 없다. 원론 전체에 각도 눈금이 없다 — 도(度)는 바빌로니아 천문학의 유산이고, 유클리드는 그 단위를 한 번도 쓰지 않는다. 그 자리에 있는 것은 공준 4가 보증한 '직각'뿐이다. 모든 직각은 서로 같으므로, 직각은 눈금 없이도 어디서나 통하는 표준 원기가 된다. 그래서 이 책의 각의 셈은 '두 직각과 같다', '두 직각보다 작다'처럼 직각을 세는 방식으로만 나아간다. 이 명제는 그 셈법의 첫 줄이다. 증명 자체도 눈금 없이 진행된다 — 각을 재지 않고, 쪼개고(∠CBE 는 ∠CBA 와 ∠ABE), 같은 것을 더하고(공통관념 2), 같은 것끼리 잇는다(공통관념 1). 여기서 확보한 '두 직각'이 I.14의 역으로, I.15의 맞꼭지각으로, 멀리는 I.32의 내각의 합으로 그대로 흘러간다. 숫자 없이 세운 각의 산수다.