유클리드 원론 · 제1권 · 명제 14
증명하라.
임의의 직선에 대하여 그 위의 한 점에서, 같은 쪽에 있지 않은 두 직선이 이웃한 두 각의 합을 두 직각과 같게 만들면, 두 직선은 서로 한 직선을 이룬다.
- 주어진 것
- 직선 AB 와 그 위의 점 B. B 에서 나온 두 직선 BC, BD 는 AB 의 같은 쪽에 있지 않고, ∠ABC 와 ∠ABD 의 합은 두 직각과 같다.
- 보여야 할 것
- BD 가 CB 와 한 직선을 이룸을 보이는 것.
증명.
(1)만약 BD 가 CB 와 한 직선이 아니라면, CB 를 B 너머로 곧게 이어 BE 가 CB 와 한 직선을 이룬다고 하자.약속, 공준 2
(2)직선 AB 가 직선 CBE 위에 서 있으므로, ∠ABC 와 ∠ABE 의 합은 두 직각과 같다.(1), I.13
(3)가정에 의해 ∠ABC 와 ∠ABD 의 합도 두 직각과 같다.가정
(4)모든 직각은 서로 같으므로, ∠CBA 와 ∠ABE 의 합은 ∠CBA 와 ∠ABD 의 합과 같다.(2), (3), 공준 4, 공통관념 1
(5)양쪽에서 공통인 ∠CBA 를 빼면, 나머지 ∠ABE 는 ∠ABD 와 같다.(4), 공통관념 3
(6)그러나 ∠ABE 는 ∠ABD 의 부분이다. 작은 각이 큰 각과 같다는 것은 불가능하다.(5), 공통관념 5
(7)그러므로 BE 는 CB 와 한 직선이 아니다. 마찬가지로 BD 밖의 어떤 직선도 CB 와 한 직선이 될 수 없다.(6)
(8)그러므로 CB 는 BD 와 한 직선을 이룬다.(7)
CB 와 BD 는 한 직선
이것이 보여야 했던 것이다.∎