유클리드 원론 · 제1권 · 명제 29
증명하라.
한 직선이 평행한 두 직선과 만나면, 엇각을 서로 같게 만들고, 외각을 내대각과 같게 만들며, 같은 쪽 내각의 합을 두 직각과 같게 만든다.
- 주어진 것
- 평행한 두 직선 AB, CD 와, 그 둘을 각각 G, H 에서 가로지르는 직선 EF.
- 보여야 할 것
- 엇각 ∠AGH = ∠GHD 이고, 동위각 ∠EGB = ∠GHD 이며, 같은 쪽 내각의 합 ∠BGH + ∠GHD 가 두 직각임을 보이는 것.
증명.
(1)엇각 ∠AGH 와 ∠GHD 가 같지 않다고 하자. 그러면 한쪽이 크다. ∠AGH 가 크다고 하자.약속
(2)각각에 ∠BGH 를 더하면, ∠AGH + ∠BGH 는 ∠BGH + ∠GHD 보다 크다.(1)
(3)그런데 직선 GH 가 직선 AB 위에 서 있으므로, ∠AGH + ∠BGH 는 두 직각과 같다.I.13
(4)그러므로 같은 쪽 내각의 합 ∠BGH + ∠GHD 는 두 직각보다 작다.(2), (3)
(5)같은 쪽 내각의 합이 두 직각보다 작으면, 두 직선을 그쪽으로 한없이 연장할 때 그쪽에서 만난다. 그러므로 AB 와 CD 는 연장하면 만난다.(4), 공준 5
(6)그런데 AB 와 CD 는 평행하다고 가정했고, 평행선은 어느 쪽으로 연장하여도 만나지 않는다. 이는 (5) 에 어긋난다.가정, 정의 23, (5)
(7)그러므로 ∠AGH 는 ∠GHD 와 다를 수 없다 — 엇각 ∠AGH = ∠GHD 이다.(6)
(8)∠AGH 와 ∠EGB 는 맞꼭지각이므로 서로 같다.I.15
(9)그러므로 동위각 ∠EGB = ∠GHD 이다.(7), (8), 공통관념 1
(10)각각에 같은 ∠BGH 를 더하면, ∠EGB + ∠BGH 는 ∠BGH + ∠GHD 와 같다.(9), 공통관념 2
(11)그런데 직선 GB 위에 직선 GH 가 서 있으므로, ∠EGB + ∠BGH 는 두 직각과 같다.I.13
(12)그러므로 같은 쪽 내각의 합 ∠BGH + ∠GHD 도 두 직각과 같다.(10), (11), 공통관념 1
같은 쪽 내각 — 합이 두 직각
이것이 보여야 했던 것이다.∎
비고
1권은 여기까지 스물여덟 편을 공준 5 없이 걸어왔다. 엇각이 같으면 평행하다는 I.27 은 그것 없이 섰지만, 그 역 — 평행하면 엇각이 같다 — 은 끝내 공준 5를 부르지 않고는 증명되지 않았다. 유클리드가 이 공준만 유난히 길고 어색하게 적어 두고 스물여덟 편이나 아껴 쓴 것은, 그 자신도 이것이 자명해 보이지 않음을 알았다는 흔적으로 읽힌다. 그리고 이 한 줄에서 2000년의 증명 시도가 시작되었다. 프로클로스부터 사케리·르장드르까지 공준 5를 나머지에서 이끌어 내려 했고, 전부 실패했다. 실패의 이유는 19세기에야 밝혀졌다 — 공준 5는 나머지 체계로부터 독립이며, 그것을 부정한 비유클리드 기하도 똑같이 무모순으로 성립한다. 목차의 공준 5 토글이 가르는 지점이 바로 여기다. 토글을 끄면 원론은 이 편부터 무너진다.