유클리드 원론 · 제1권 · 명제 28
증명하라.
한 직선이 두 직선과 만나, 외각을 같은 쪽의 내대각과 같게 만들거나 같은 쪽 내각의 합을 두 직각과 같게 만들면, 두 직선은 서로 평행하다.
- 주어진 것
- 직선 EF 가 두 직선 AB, CD 와 각각 G, H 에서 만난다. 동위각 ∠EGB = ∠GHD 이거나, 같은 쪽 내각의 합 ∠BGH + ∠GHD 가 두 직각과 같다.
- 보여야 할 것
- 어느 경우든 AB 와 CD 가 평행함을 보이는 것.
증명.
(1)먼저 동위각 ∠EGB = ∠GHD 라 하자.가정
(2)∠EGB 와 ∠AGH 는 맞꼭지각이므로 서로 같다.I.15
(3)같은 것과 같은 것들은 서로 같다. 그러므로 ∠AGH = ∠GHD 이고, 두 각은 엇각이다.(1), (2), 공통관념 1
(4)엇각이 같으므로 AB 는 CD 와 평행하다.(3), I.27
(5)다음으로 같은 쪽 내각의 합 ∠BGH + ∠GHD 가 두 직각과 같다고 하자.가정
(6)직선 GH 가 직선 AB 위에 서 있으므로, ∠AGH + ∠BGH 도 두 직각과 같다.I.13
(7)모든 직각은 서로 같으므로, ∠AGH + ∠BGH 는 ∠BGH + ∠GHD 와 같다.(5), (6), 공준 4, 공통관념 1
(8)각각에서 공통인 ∠BGH 를 빼면, 나머지 ∠AGH 와 ∠GHD 는 같다. 두 각은 엇각이다.(7), 공통관념 3
(9)그러므로 이 경우에도 AB 는 CD 와 평행하다.(8), I.27
평행 (I.27)
이것이 보여야 했던 것이다.∎