유클리드 원론 · 제1권 · 명제 27
증명하라.
한 직선이 두 직선과 만나 엇각을 서로 같게 만들면, 두 직선은 서로 평행하다.
- 주어진 것
- 직선 EF 가 두 직선 AB, CD 와 각각 E, F 에서 만나고, 엇각 ∠AEF = ∠EFD 이다.
- 보여야 할 것
- AB 와 CD 가 평행함을 보이는 것.
증명.
(1)AB 와 CD 가 평행하지 않다고 하자. 평행선은 어느 쪽으로 연장하여도 만나지 않는 직선들이므로, 평행하지 않다면 B, D 쪽이나 A, C 쪽에서 만난다.정의 23
(2)B, D 쪽에서 만난다고 하고, 그 점을 G 라 하자.약속
(3)그러면 GEF 는 삼각형이고, ∠AEF 는 변 GE 를 E 너머로 연장하여 생긴 그 외각이다.(2)
(4)삼각형의 외각은 마주보는 내각보다 크다. 그러므로 ∠AEF 는 ∠EFG 보다 크다.(3), I.16
(5)그런데 ∠EFG 는 ∠EFD 와 같은 각이다. 그러므로 ∠AEF 가 ∠EFD 보다 크게 되어, 가정 ∠AEF = ∠EFD 에 어긋난다.(4), 가정
(6)그러므로 AB 와 CD 는 B, D 쪽에서 만나지 않는다. 같은 방법으로 A, C 쪽에서 만난다고 해도 외각이 내각과 같아져 불가능하다.(5), I.16
(7)어느 쪽으로 연장하여도 만나지 않는 직선들은 평행하다. 그러므로 AB 는 CD 와 평행하다.(6), 정의 23
평행 (정의 23)
이것이 보여야 했던 것이다.∎