유클리드 원론 · 제1권 · 명제 24
증명하라.
두 삼각형에서 두 변이 두 변과 각각 같은데, 같은 변이 낀 각이 한쪽에서 더 크면, 밑변도 그쪽이 더 크다.
- 주어진 것
- 삼각형 ABC 와 DEF. AB = DE, AC = DF 이고 ∠BAC > ∠EDF.
- 보여야 할 것
- 밑변 BC > 밑변 EF 임을 보이는 것.
증명.
(1)직선 DE 위의 점 D 에 ∠BAC 와 같은 ∠EDG 를 세우고, DG 는 AC, 곧 DF 와 같게 잡는다.I.23, I.3
(2)E 와 G, F 와 G 를 직선으로 잇는다.공준 1
(3)삼각형 ABC 와 삼각형 DEG 에서, AB = DE, AC = DG 이고 ∠BAC = ∠EDG 이므로, 밑변 BC = 밑변 EG 이다.가정, (1), I.4
(4)DF = DG 이므로, 삼각형 DFG 에서 ∠DGF = ∠DFG 이다.(1), I.5
(5)∠DGF 는 ∠EGF 를 부분으로 가지므로 그보다 크다. 그러므로 ∠DFG 도 ∠EGF 보다 크다.(4), 공통관념 5
(6)∠EFG 는 ∠DFG 를 부분으로 가지므로, ∠EFG 는 ∠EGF 보다 훨씬 크다.(5), 공통관념 5
(7)삼각형 EFG 에서 ∠EFG > ∠EGF 이고, 큰 각과 마주보는 변이 더 크다. 그러므로 EG > EF 이다.(6), I.19
(8)EG = BC 이므로, BC > EF 이다.(3), (7)
BC = EG (3)BC > EF
이것이 보여야 했던 것이다.∎