유클리드 원론 · 제1권 · 명제 25
증명하라.
두 삼각형에서 두 변이 두 변과 각각 같은데, 밑변이 한쪽에서 더 크면, 같은 변이 낀 각도 그쪽이 더 크다.
- 주어진 것
- 삼각형 ABC 와 DEF. AB = DE, AC = DF 이고 밑변 BC > 밑변 EF.
- 보여야 할 것
- ∠BAC > ∠EDF 임을 보이는 것.
증명.
(1)만약 ∠BAC 가 ∠EDF 보다 크지 않다면, 두 각은 같거나 ∠BAC 가 더 작다.약속
(2)두 각이 같다고 하자. 두 변과 낀 각이 각각 같으므로, 밑변 BC 와 EF 도 같아야 한다.(1), 가정, I.4
(3)그러나 BC > EF 이다. 그러므로 ∠BAC 는 ∠EDF 와 같지 않다.(2), 가정
(4)∠BAC 가 더 작다고 하자. 두 변이 각각 같고 낀 각이 작으므로, 밑변 BC 가 EF 보다 작아야 한다.(1), 가정, I.24
(5)그러나 BC > EF 이다. 그러므로 ∠BAC 는 ∠EDF 보다 작지 않다.(4), 가정
(6)같지도 않고 작지도 않으므로, ∠BAC 는 ∠EDF 보다 크다.(3), (5)
∠BAC > ∠EDF∠EDF
이것이 보여야 했던 것이다.∎