유클리드 원론 · 제1권 · 명제 26
증명하라.
두 삼각형에서 두 각이 두 각과 각각 같고 한 변이 한 변과 같으면, 남은 변들도 남은 변들과 각각 같고 남은 각도 남은 각과 같다. 같은 변은 같은 두 각 사이의 변일 수도 있고, 같은 각 하나와 마주보는 변일 수도 있다.
- 주어진 것
- 삼각형 ABC 와 DEF. ∠ABC = ∠DEF 이고 ∠BCA = ∠EFD. 그리고 BC = EF 이거나(첫째 경우), AB = DE 이다(둘째 경우).
- 보여야 할 것
- 두 경우 모두 남은 변들이 각각 같고, 남은 각 ∠BAC = ∠EDF 임을 보이는 것.
증명.
(1)먼저 같은 변이 같은 두 각 사이에 있는 경우다. BC = EF 라 하자.가정
(2)만약 AB ≠ DE 라면, 둘 중 하나가 크다. AB 가 크다고 하자.약속
(3)큰 AB 에서 DE 와 같은 GB 를 잘라 내고, G 와 C 를 직선으로 잇는다.(2), I.3, 공준 1
(4)삼각형 GBC 와 삼각형 DEF 에서, GB = DE, BC = EF 이고 ∠GBC = ∠DEF 이므로, 두 삼각형은 같고 ∠GCB = ∠DFE 이다.(1), (3), 가정, I.4
(5)그런데 ∠DFE = ∠BCA 이므로 ∠GCB = ∠BCA 이다. 부분이 전체와 같으니 불가능하다.(4), 가정, 공통관념 5
(6)그러므로 AB ≠ DE 는 거짓이고, AB = DE 이다.(2), (5)
(7)이제 삼각형 ABC 와 DEF 에서 AB = DE, BC = EF 이고 ∠ABC = ∠DEF 이므로, 밑변 AC = DF 이고 남은 각 ∠BAC = ∠EDF 이다.(1), (6), 가정, I.4
(8)다음은 같은 변이 같은 각과 마주보는 경우다. AB = DE 라 하자.가정
(9)만약 BC ≠ EF 라면 하나가 크다. BC 가 크다고 하고, BC 에서 EF 와 같은 BH 를 잘라 내고 A 와 H 를 직선으로 잇는다.약속, I.3, 공준 1
(10)삼각형 ABH 와 삼각형 DEF 에서, AB = DE, BH = EF 이고 ∠ABH = ∠DEF 이므로, 두 삼각형은 같고 ∠BHA = ∠EFD 이다.(8), (9), 가정, I.4
(11)그런데 ∠EFD = ∠BCA 이므로, 삼각형 AHC 의 외각 ∠BHA 가 안의 마주보는 각 ∠BCA 와 같다. 외각은 안의 마주보는 각보다 커야 하니 불가능하다.(10), 가정, I.16
(12)그러므로 BC ≠ EF 는 거짓이고, BC = EF 이다.(9), (11)
(13)이제 두 변과 낀 각이 각각 같으므로, 밑변 AC = DF 이고 남은 각 ∠BAC = ∠EDF 이다.(8), (12), 가정, I.4
밑변 AC = DF남은 각 ∠BAC = ∠EDF
이것이 보여야 했던 것이다.∎
비고
합동의 판정은 여기서 완성된다. 두 변과 낀 각(I.4), 세 변(I.8), 그리고 한 변과 두 각(I.26) — 삼각형이라는 도형을 붙잡는 세 개의 손잡이가 모두 갖춰졌다. 프로클로스가 에우데모스를 인용해 전하기를, 탈레스는 바다 위 배까지의 거리를 이 명제의 방법으로 쟀다고 한다. 해안의 한 변과 그 양 끝의 두 각만 재면 삼각형은 하나로 결정되기 때문이다. 그런데 목록에 없는 것이 하나 있다. 세 각이 모두 같은 경우(AAA)는 왜 판정이 아닌가. 원론은 여기서 답하지 않는다. 그 답은 공준 5와 얽혀 있고, 평행선의 세계가 열리는 I.29 뒤에야 모습을 드러낸다. 세 각이 같아도 크기는 다를 수 있다는 사실 자체가, 이 기하가 어떤 기하인지를 가르는 표지다.