유클리드 원론 · 제1권 · 명제 32
증명하라.
어느 삼각형에서든 한 변을 연장하면, 외각은 마주보는 두 내각의 합과 같고, 삼각형의 세 내각의 합은 두 직각과 같다.
- 주어진 것
- 삼각형 ABC. 변 BC 를 C 너머 D 까지 연장한다.
- 보여야 할 것
- 외각 ∠ACD 가 두 내대각 ∠CAB, ∠ABC 의 합과 같고, 세 내각 ∠ABC + ∠BCA + ∠CAB 의 합이 두 직각임을 보이는 것.
증명.
(1)점 C 를 지나 AB 에 평행한 직선 CE 를 긋는다.I.31
(2)AB 와 CE 는 평행하고 AC 가 그 둘을 가로지르므로, 엇각 ∠BAC = ∠ACE 이다.(1), I.29
(3)AB 와 CE 는 평행하고 직선 BD 가 그 둘을 가로지르므로, 동위각 ∠ECD = ∠ABC 이다.(1), I.29
(4)같은 것에 같은 것을 더하면 전체는 같다. 그러므로 외각 ∠ACD 전체는 두 내대각 ∠CAB 와 ∠ABC 의 합과 같다.(2), (3), 공통관념 2
(5)각각에 ∠ACB 를 더하면, ∠ACD + ∠ACB 는 세 각 ∠ABC + ∠BCA + ∠CAB 의 합과 같다.(4), 공통관념 2
(6)그런데 직선 AC 가 직선 BD 위에 서 있으므로, ∠ACD + ∠ACB 는 두 직각과 같다.I.13
(7)그러므로 세 내각 ∠ABC + ∠BCA + ∠CAB 의 합도 두 직각과 같다.(5), (6), 공통관념 1
세 내각 — 합이 두 직각
이것이 보여야 했던 것이다.∎
비고
내각의 합이 두 직각이라는 것은 삼각형의 성질이 아니라 평면의 성질이다. 증명이 그것을 보여 준다 — 삼각형 자신에게서는 아무것도 꺼내지 않고, 꼭짓점을 지나는 평행선 하나를 빌려 온 뒤 I.29 를 두 번 내려친다. I.29 가 공준 5의 첫 사용이었으니, 이 정리는 공준 5의 첫 열매다. 공준 5가 다르게 서는 평면에서는 세 각의 합도 다르다. 구면 위의 삼각형은 합이 두 직각보다 크고, 쌍곡평면에서는 작다. 그리고 그 넘치거나 모자라는 양이 삼각형의 넓이에 비례한다 — 각을 재면 넓이가 나오는 세상이다. 그러므로 종이 삼각형의 세 각을 오려 붙여 일직선을 만드는 실험은 삼각형을 검사하는 것이 아니라, 우리가 사는 공간이 어느 기하를 따르는지를 재는 실험이다.