유클리드 원론 · 제1권 · 명제 31
작도하라.
주어진 점을 지나, 주어진 직선에 평행한 직선을 그어라.
- 주어진 것
- 점 A 와 직선 BC.
- 해야 할 것
- A 를 지나 BC 에 평행한 직선을 긋는 것.
작도.
(1)BC 위에 임의의 점 D 를 잡고, A 와 D 를 직선으로 잇는다.약속, 공준 1
(2)직선 DA 위의 점 A 에서, ∠ADC 와 같은 각 ∠DAE 를 C 의 반대쪽에 만든다.I.23
(3)직선 EA 를 A 너머 F 까지 곧게 연장한다.공준 2
(4)직선 AD 가 두 직선 BC, EF 와 만나 엇각 ∠EAD 와 ∠ADC 를 서로 같게 만들었다.(2)
(5)엇각이 같으므로 EAF 는 BC 와 평행하다. 이 직선은 주어진 점 A 를 지난다.(4), I.27
평행 (I.27)주어진 점을 지난다
이것이 해야 했던 작도다.∎
비고
이 작도는 공준 5를 쓰지 않는다. I.23 으로 각을 옮기고 I.27 로 평행을 확인할 뿐이므로, 주어진 점을 지나는 평행선의 존재는 공준 5 없이 공짜로 얻어진다. 비싼 것은 존재가 아니라 유일성이다 — 그 점을 지나는 평행선이 하나뿐이라는 보장은 이 작도 어디에도 없고, 그것이 바로 공준 5의 실제 내용이다. 한 점을 지나는 평행선이 둘 이상인 쌍곡평면에서도 이 작도는 그대로 성립한다. 후대는 이 사실을 뒤집어 공준 5를 다시 적었다 — 한 점을 지나 한 직선에 평행한 직선은 많아야 하나다. 플레이페어 공리라 불리는 이 문장이 오늘날 교과서가 평행선 공준을 말하는 방식이다. 원론의 길고 어색한 원문과 논리적으로 동치이지만, 값을 치르는 자리가 존재가 아니라 유일성이라는 것은 이쪽이 더 선명하게 보여 준다.