유클리드 원론 · 제2권 · 명제 9

증명하라.

직선을 같은 곳과 다른 곳에서 자르면, 다르게 잘린 두 조각 위 정사각형들의 합은, 반 위 정사각형과 두 자름점 사이 위 정사각형의 합의 두 배와 같다.

증명.

(1)C 에서 AB 에 수선 CE 를 세우고, CE = AC 로 잡는다.I.11, I.3

(2)E 와 A, E 와 B 를 직선으로 잇는다.공준 1

(3)D 를 지나 CE 에 평행한 직선이 EB 와 만나는 점을 F, F 를 지나 AB 에 평행한 직선이 CE 와 만나는 점을 G 라 하고, A 와 F 를 잇는다.I.31, 약속, 공준 1

(4)CA = CE 이므로 ∠EAC = ∠AEC 이고, C 의 각이 직각이므로 각각은 직각의 반이다.(1), I.5, I.32

(5)AC = CB 에서 CB = CE 이므로, 같은 이유로 ∠CEB 와 ∠CBE 도 각각 직각의 반이다. 그러므로 ∠AEB 는 직각이다.가정, (1), 공통관념 1, I.5, I.32, 공통관념 2

(6)DF 는 CE 에 평행하므로 ∠FDB 는 직각이고, ∠DBF 가 직각의 반이므로 ∠DFB 도 직각의 반이다. 그러므로 DF = DB.(3), (5), I.29, I.32, I.6

(7)GF 는 AB 에 평행하므로 ∠EGF 는 직각이고, ∠GEF 가 직각의 반이므로 ∠GFE 도 직각의 반이다. 그러므로 GE = GF.(3), (5), I.29, I.32, I.6

(8)CA = CE 이고 C 의 각이 직각이므로, EA 위 정사각형은 AC 위 정사각형의 두 배다.(1), I.47

(9)GE = GF 이고 G 의 각이 직각이므로 EF 위 정사각형은 GF 위 정사각형의 두 배이고, GF = CD 이므로 CD 위 정사각형의 두 배다.(3), (7), I.47, I.34

(10)∠AEF 는 직각이므로 AF 위 정사각형은 AE 위 정사각형과 EF 위 정사각형의 합 — 곧 AC 위 정사각형과 CD 위 정사각형의 합의 두 배다.(5), (8), (9), I.47, 공통관념 2

(11)∠ADF 도 직각이므로 AF 위 정사각형은 AD 위 정사각형과 DF 위 정사각형의 합이고, DF = DB 이다.(3), (6), I.29, I.47

(12)그러므로 AD 위 정사각형과 DB 위 정사각형의 합은, AC 위 정사각형과 CD 위 정사각형의 합의 두 배다.(10), (11), 공통관념 1

AD² + DB²AC² + CD² 의 두 배

이것이 보여야 했던 것이다.∎