유클리드 원론 · 제1권 · 명제 45

작도하라.

주어진 직선도형과 같은 평행사변형을 주어진 직선각으로 만들어라.

작도.

(1)D 와 B 를 이어, 도형 ABCD 를 삼각형 ABD 와 삼각형 DBC 로 나눈다.공준 1

(2)삼각형 ABD 와 같고 ∠HKF 가 E 와 같은 평행사변형 FKHG 를 만든다.I.42

(3)선분 GH 위에, 삼각형 DBC 와 같고 ∠GHM 이 E 와 같은 평행사변형 GHML 을 붙인다.I.44

(4)∠HKF 와 ∠GHM 은 각각 E 와 같으므로 서로 같다.(2), (3), 공통관념 1

(5)양쪽에 ∠KHG 를 더하면, ∠FKH 와 ∠KHG 의 합은 ∠KHG 와 ∠GHM 의 합과 같다.(4), 공통관념 2

(6)FK 와 GH 는 평행하고 직선 KH 가 그들과 만나므로, ∠FKH 와 ∠KHG 의 합은 두 직각과 같다.(2), I.29

(7)그러므로 ∠KHG 와 ∠GHM 의 합도 두 직각과 같고, KH 와 HM 은 한 직선을 이룬다.(5), (6), 공통관념 1, I.14

(8)직선 HG 가 평행선 KM 과 FG 와 만나므로, 엇각 ∠MHG 와 ∠HGF 는 같다.(2), (7), I.29

(9)양쪽에 ∠HGL 을 더하면, ∠MHG 와 ∠HGL 의 합은 ∠HGF 와 ∠HGL 의 합과 같다.(8), 공통관념 2

(10)HM 과 GL 은 평행하고 직선 HG 가 그들과 만나므로, ∠MHG 와 ∠HGL 의 합은 두 직각과 같다.(3), I.29

(11)그러므로 ∠HGF 와 ∠HGL 의 합도 두 직각과 같고, FG 와 GL 은 한 직선을 이룬다.(9), (10), 공통관념 1, I.14

(12)FK 는 HG 와 같고 평행하며 HG 는 ML 과 같고 평행하므로, FK 도 ML 과 같고 평행하다.(2), (3), I.34, I.30, 공통관념 1

(13)그 끝을 잇는 KM 과 FL 도 같고 평행하다. 그러므로 KFLM 은 평행사변형이다.(12), I.33

(14)삼각형 ABD 는 평행사변형 FKHG 와 같고 삼각형 DBC 는 평행사변형 GHML 과 같으므로, 전체 도형 ABCD 는 전체 평행사변형 KFLM 과 같다.(2), (3), 공통관념 2

(15)그 각 ∠FKM 은 주어진 각 E 와 같다.(2), (7)

∠FKM = ∠E

이것이 해야 했던 작도다.∎