유클리드 원론 · 제1권 · 명제 39
증명하라.
같은 밑변 위 같은 쪽에 있는, 서로 같은 삼각형들은 같은 평행선 사이에 있다.
- 주어진 것
- 삼각형 ABC와 DBC는 서로 같고, 같은 밑변 BC 위 같은 쪽에 있다.
- 보여야 할 것
- 두 삼각형이 같은 평행선 사이에 있음을, 곧 AD가 BC와 평행함을 보이는 것.
증명.
(1)A와 D를 직선으로 잇는다. AD가 BC와 평행함을 보이려 한다.공준 1
(2)만약 평행하지 않다면, A를 지나 BC와 평행한 다른 직선을 그을 수 있다. 그 직선이 BD와 만나는 점을 E라 한다.I.31, 약속
(3)E와 C를 직선으로 잇는다.공준 1
(4)삼각형 ABC와 EBC는 같은 밑변 BC 위에, 같은 평행선 BC와 AE 사이에 있다. 그러므로 서로 같다.(2), (3), I.37
(5)그런데 가정에서 삼각형 ABC는 삼각형 DBC와 같다. 그러므로 삼각형 DBC와 삼각형 EBC가 서로 같다.가정, (4), 공통관념 1
(6)그러나 삼각형 EBC는 삼각형 DBC의 부분이다. 전체는 부분보다 크므로, 이는 불합리하다.(5), 공통관념 5
(7)그러므로 AE는 BC와 평행하지 않다. 같은 방법으로 AD 밖의 어떤 직선도 평행하지 않음을 보일 수 있으므로, AD가 BC와 평행하다.(6)
AD ∥ BC
이것이 보여야 했던 것이다.∎