유클리드 원론 · 제1권 · 명제 37
증명하라.
같은 밑변 위에 있고 같은 평행선 사이에 있는 삼각형들은 서로 같다.
- 주어진 것
- 삼각형 ABC와 DBC. 둘은 같은 밑변 BC 위에, 같은 평행선 AD와 BC 사이에 있다.
- 보여야 할 것
- 삼각형 ABC가 삼각형 DBC와 서로 같음을 보이는 것.
증명.
(1)직선 AD를 양쪽으로 곧게 연장한다.공준 2
(2)B를 지나 CA와 평행한 직선을 그어, 연장선과 만나는 점을 E라 한다.(1), I.31
(3)C를 지나 BD와 평행한 직선을 그어, 연장선과 만나는 점을 F라 한다.(1), I.31
(4)EBCA와 DBCF는 마주보는 변이 각각 평행하므로, 둘 다 평행사변형이다.가정, (2), (3)
(5)두 평행사변형은 같은 밑변 BC 위에, 같은 평행선 BC와 EF 사이에 있다. 그러므로 서로 같다.(4), I.35
(6)삼각형 ABC는 평행사변형 EBCA의 반이다. 대각선 AB가 그것을 이등분하기 때문이다.(4), I.34
(7)삼각형 DBC는 평행사변형 DBCF의 반이다. 대각선 DC가 그것을 이등분하기 때문이다.(4), I.34
(8)같은 것들의 반은 서로 같다. 반이 같지 않다면, 같은 것에 같은 것을 더한 그 두 배도 같지 않게 되기 때문이다.공통관념 2
(9)그러므로 삼각형 ABC는 삼각형 DBC와 서로 같다.(5), (6), (7), (8)
△ABC△DBC — 서로 같다
이것이 보여야 했던 것이다.∎