유클리드 원론 · 제1권 · 명제 35
증명하라.
같은 밑변 위에 있고 같은 평행선 사이에 있는 평행사변형들은 서로 같다.
- 주어진 것
- 평행사변형 ABCD와 EBCF. 둘은 같은 밑변 BC 위에, 같은 평행선 AF와 BC 사이에 있다.
- 보여야 할 것
- 평행사변형 ABCD가 평행사변형 EBCF와 서로 같음을 보이는 것.
증명.
(1)ABCD가 평행사변형이므로, AD와 BC는 서로 같다.가정, I.34
(2)같은 이유로 EBCF에서 EF와 BC도 서로 같다.가정, I.34
(3)같은 BC와 같은 AD, EF는 서로 같다. 그러므로 AD = EF 이다.(1), (2), 공통관념 1
(4)양쪽에 공통인 DE 를 더하면, 전체 AE 와 전체 DF 는 서로 같다.(3), 공통관념 2
(5)또 ABCD가 평행사변형이므로, AB와 DC는 서로 같다.가정, I.34
(6)AB와 DC는 평행하고 직선 AF가 이 둘과 만나므로, 외각 ∠FDC는 내각 ∠EAB와 같다.가정, I.29
(7)삼각형 EAB와 FDC에서, EA = FD, AB = DC 이고 낀 각 ∠EAB = ∠FDC 이다. 그러므로 밑변 EB = FC 이고 두 삼각형은 같다.(4), (5), (6), I.4
(8)DC와 EB가 만나는 점을 G라 한다.약속
(9)같은 두 삼각형에서 공통 부분인 삼각형 DGE를 각각 빼면, 남은 사다리꼴 ABGD와 EGCF는 서로 같다.(7), (8), 공통관념 3
(10)남은 두 사다리꼴에 삼각형 GBC를 각각 더하면, 전체 평행사변형 ABCD와 전체 평행사변형 EBCF는 서로 같다.(9), 공통관념 2
▱ABCD▱EBCF더한 공통 △GBC
이것이 보여야 했던 것이다.∎
비고
이 두 평행사변형은 포개어지지 않는다. 변도 각도 다르다. 그런데 원론은 같다고 말한다. 책에서 처음으로, 같음이 모양이 아니라 크기를 뜻하기 시작하는 지점이다. 앞의 서른네 편에서 같음은 언제나 합동이었다. 변은 변끼리, 각은 각끼리 포개어졌다. 여기서부터 같음은 넓이다. 다만 원론은 넓이를 수로 재지 않는다. 밑변 곱하기 높이 같은 공식은 어디에도 없다. 같은 것을 빼고(공통관념 3) 같은 것을 더해(공통관념 2), 도형에서 도형으로 곧장 건너간다. 자르고 옮겨 붙여 같음을 보이는 이 방법은, 평행사변형을 옆으로 미는 전단(shear) 변환과 넓이 등분해의 원형이다. 2천 년 뒤 힐베르트는 『기하학의 기초』에서 이 같음을 분해 상등 — 유한 개의 조각으로 잘라 서로 재조립할 수 있는 관계 — 으로 엄밀하게 다시 세웠다. 유클리드가 말없이 쓰던 것에 이름과 정의가 붙은 것이다.