유클리드 원론 · 제1권 · 명제 36
증명하라.
같은 크기의 밑변 위에 있고 같은 평행선 사이에 있는 평행사변형들은 서로 같다.
- 주어진 것
- 평행사변형 ABCD와 EFGH. 밑변 BC와 FG는 서로 같고, 둘은 같은 평행선 AH와 BG 사이에 있다.
- 보여야 할 것
- 평행사변형 ABCD가 평행사변형 EFGH와 서로 같음을 보이는 것.
증명.
(1)B와 E를, C와 H를 직선으로 잇는다.공준 1
(2)EFGH가 평행사변형이므로, EH와 FG는 서로 같다.가정, I.34
(3)가정에서 BC와 FG가 같으므로, BC와 EH는 서로 같다.가정, (2), 공통관념 1
(4)BC와 EH는 평행하기도 하다. 주어진 두 평행선 위에 놓여 있기 때문이다.가정
(5)같고 평행한 BC와 EH의 끝을 EB와 HC가 잇는다. 그러므로 EB와 HC도 같고 평행하다.(1), (3), (4), I.33
(6)마주보는 두 쌍의 변이 각각 평행하므로, EBCH는 평행사변형이다.(4), (5)
(7)EBCH와 ABCD는 같은 밑변 BC 위에, 같은 평행선 사이에 있다. 그러므로 서로 같다.(6), 가정, I.35
(8)같은 이유로 EBCH와 EFGH도 같은 밑변 EH 위에, 같은 평행선 사이에 있으므로 서로 같다.(6), 가정, I.35
(9)그러므로 평행사변형 ABCD는 평행사변형 EFGH와 서로 같다.(7), (8), 공통관념 1
▱ABCD▱EFGH — 서로 같다
이것이 보여야 했던 것이다.∎