유클리드 원론 · 제1권 · 명제 42
작도하라.
주어진 삼각형과 같고, 주어진 직선각과 같은 각을 가진 평행사변형을 만들어라.
- 주어진 것
- 삼각형 ABC 와 직선각 D.
- 해야 할 것
- 삼각형 ABC 와 같고 D 와 같은 각을 가진 평행사변형을 만드는 것.
작도.
(1)선분 BC 를 E 에서 이등분한다.I.10
(2)A 와 E 를 직선으로 잇는다.공준 1
(3)선분 EC 위의 점 E 에, 주어진 각 D 와 같은 ∠CEF 를 세운다.I.23
(4)A 를 지나 EC 와 평행한 AG 를 긋고, C 를 지나 EF 와 평행한 CG 를 그어, 만나는 점을 G 라 한다.I.31, 약속
(5)FE 와 GC 는 평행하고 FG 와 EC 도 평행하므로, FECG 는 평행사변형이다.(3), (4)
(6)BE = EC 이므로, 삼각형 ABE 와 삼각형 AEC 는 같은 크기의 밑변 위에서 같은 평행선 BC·AG 사이에 있어 서로 같다.(1), (4), I.38
(7)그러므로 삼각형 ABC 는 삼각형 AEC 의 두 배다.(6), 공통관념 2
(8)평행사변형 FECG 도 삼각형 AEC 와 같은 밑변 EC 를 가지고 같은 평행선 사이에 있으므로, 삼각형 AEC 의 두 배다.(5), (4), I.41
(9)같은 것의 두 배인 것들은 서로 같으므로, 평행사변형 FECG 는 삼각형 ABC 와 같다.(7), (8), 공통관념 1
(10)그리고 그 각 ∠CEF 는 주어진 각 D 와 같다.(3)
∠CEF = ∠D
이것이 해야 했던 작도다.∎