유클리드 원론 · 제1권 · 명제 43
증명하라.
어떤 평행사변형에서든, 대각선 곁의 평행사변형들의 보형들은 서로 같다.
- 주어진 것
- 평행사변형 ABCD 와 그 대각선 AC. 대각선 위의 점 K 를 지나 변들과 평행한 두 직선 EG·HF 가 있어, AEKH 와 KFCG 는 대각선 곁의 평행사변형이고, EBFK 와 HKGD 는 이른바 보형이다.
- 보여야 할 것
- 보형 EBFK 와 보형 HKGD 가 같음을 보이는 것.
증명.
(1)ABCD 는 평행사변형이고 AC 는 그 대각선이므로, 삼각형 ABC 와 삼각형 ACD 는 같다.가정, I.34
(2)AEKH 도 평행사변형이고 AK 는 그 대각선이므로, 삼각형 AEK 와 삼각형 AHK 는 같다.가정, I.34
(3)같은 이유로 KFCG 에서도, 삼각형 KFC 와 삼각형 KGC 는 같다.가정, I.34
(4)같은 것에 같은 것을 더하면 전체는 같으므로, 삼각형 AEK 와 KFC 의 합은 삼각형 AHK 와 KGC 의 합과 같다.(2), (3), 공통관념 2
(5)전체 삼각형 ABC 가 전체 삼각형 ACD 와 같으므로, 남은 보형 EBFK 는 남은 보형 HKGD 와 같다.(1), (4), 공통관념 3
보형 EBFK= 보형 HKGD
이것이 보여야 했던 것이다.∎