유클리드 원론 · 제1권 · 명제 41
증명하라.
평행사변형이 삼각형과 같은 밑변을 갖고 같은 평행선 사이에 있으면, 평행사변형은 그 삼각형의 두 배다.
- 주어진 것
- 평행사변형 ABCD와 삼각형 EBC. 둘은 같은 밑변 BC를 갖고, 같은 평행선 BC와 AE 사이에 있다.
- 보여야 할 것
- 평행사변형 ABCD가 삼각형 EBC의 두 배임을 보이는 것.
증명.
(1)A와 C를 직선으로 잇는다.공준 1
(2)삼각형 ABC와 EBC는 같은 밑변 BC 위에, 같은 평행선 BC와 AE 사이에 있다. 그러므로 서로 같다.가정, (1), I.37
(3)평행사변형 ABCD는 삼각형 ABC의 두 배다. 대각선 AC가 그것을 이등분하기 때문이다.(1), I.34
(4)그러므로 평행사변형 ABCD는 같은 삼각형 EBC의 두 배이기도 하다.(2), (3), 공통관념 1
▱ABCD — 두 배△EBC — 그 반
이것이 보여야 했던 것이다.∎
비고
삼각형의 넓이는 밑변 곱하기 높이 나누기 2. 학교에서 외우는 이 공식의 2가 여기서 태어난다. 다만 공식이 아니라 문장으로 태어난다. 원론에는 수도 곱셈도 없으므로 ½이라고 쓸 수 없다. 대신 평행사변형은 삼각형의 두 배라고 말한다. 평행사변형이 밑변 곱하기 높이의 자리에 서 있으니, 두 배라는 문장이 곧 절반이라는 공식이다. 그리고 이 정리는 여섯 편 뒤에 심장이 된다. I.47, 피타고라스 정리의 증명에서 유클리드는 빗변 위의 정사각형을 둘로 가르고, 각 조각과 삼각형 사이를 바로 이 두 배 관계로 잇는다. 정사각형도 평행사변형이므로, 같은 밑변과 같은 평행선만 찾아내면 I.41이 정사각형을 삼각형의 두 배로 바꾸어 준다. 삼각형끼리는 I.4가 합동을 옮기고, 다시 I.41이 삼각형을 정사각형으로 되돌린다. 넓이 이론 일곱 편이 놓아 온 다리는 이 왕복을 위해 준비된 것이다.