유클리드 원론 · 제1권 · 명제 44
작도하라.
주어진 직선 위에, 주어진 삼각형과 같은 평행사변형을 주어진 직선각으로 붙여라.
- 주어진 것
- 직선 AB, 삼각형 C, 직선각 D.
- 해야 할 것
- AB 위에, 삼각형 C 와 같고 D 와 같은 각을 가진 평행사변형을 붙이는 것.
작도.
(1)삼각형 C 와 같고 ∠EBG 가 D 와 같은 평행사변형 BEFG 를, BE 가 AB 와 한 직선이 되도록 짓는다.I.42, 약속
(2)FG 를 G 너머로 연장하고, A 를 지나 EF 와 평행한 직선을 그어, 그 연장선과 만나는 점을 H 라 한다.공준 2, I.31, 약속
(3)H 와 B 를 직선으로 잇는다.공준 1
(4)직선 HF 가 두 평행선 AH 와 EF 위에 떨어지므로, ∠AHF 와 ∠HFE 의 합은 두 직각과 같다.(2), I.29
(5)∠BHG 는 ∠AHF 의 부분이므로 그보다 작다. 그러므로 ∠BHG 와 ∠GFE 의 합은 두 직각보다 작다.(3), (4), 공통관념 5
(6)같은 쪽 내각의 합이 두 직각보다 작으면 두 직선은 그쪽에서 만나므로, HB 와 FE 를 연장하여 만나는 점을 K 라 한다.(5), 공준 5, 공준 2, 약속
(7)K 를 지나 EA 와 평행한 직선 KL 을 긋고, HA 와 GB 를 연장하여 그것과 만나는 점을 각각 L, M 이라 한다.I.31, 공준 2, 약속
(8)HLKF 는 평행사변형이고 HK 는 그 대각선이다. AHGB 와 BEKM 은 대각선 곁의 평행사변형이고, ABML 과 BEFG 는 그 보형이다.(6), (7)
(9)그러므로 보형 ABML 은 보형 BEFG 와 같다.(8), I.43
(10)평행사변형 BEFG 는 삼각형 C 와 같으므로, ABML 도 삼각형 C 와 같다.(1), (9), 공통관념 1
(11)∠GBE 와 ∠ABM 은 맞꼭지각이므로 같다. ∠GBE 는 D 와 같으므로 ∠ABM 도 D 와 같다.(1), I.15, 공통관념 1
∠GBE = ∠ABM = ∠D
이것이 해야 했던 작도다.∎
비고
그리스인들은 이 작도를 '넓이의 적용'이라 불렀다. 주어진 넓이를 주어진 선분 위에 펴 바르는 일 — 넓이를 길이로 나누어 남은 한 변을 얻는 일이니, 기하의 언어로 쓴 나눗셈이다. 수 대신 도형으로 계산하는 이 방식을 후대는 기하적 대수라 불렀고, 그 핵심 연산이 바로 여기다. 2권 전체가 이 연산 위에 서 있고, 이차방정식의 기하적 해법도 여기서 자란다. 증명의 결도 눈여겨볼 만하다. 두 직선이 만난다는 것을 그림에 맡기지 않고, 내각의 합이 두 직각보다 작음을 보인 뒤 공준 5를 정면으로 인용해 교점 K 를 얻는다. 공준 5가 평행선의 성질 뒤에 숨지 않고 작도의 도구로 직접 일하는 드문 장면이다.