유클리드 원론 · 제1권 · 명제 48
증명하라.
삼각형에서 한 변 위의 정사각형이 나머지 두 변 위의 정사각형들의 합과 같으면, 나머지 두 변이 낀 각은 직각이다.
- 주어진 것
- 삼각형 ABC. BC 위의 정사각형이 BA 위의 정사각형과 AC 위의 정사각형의 합과 같다.
- 보여야 할 것
- ∠BAC 가 직각임을 보이는 것.
증명.
(1)점 A 에서 직선 AC 에 수직인 직선을, B 의 반대쪽으로 긋는다.I.11
(2)그 위에 AB 와 같은 길이의 AD 를 잘라 낸다.I.3
(3)D 와 C 를 직선으로 잇는다.공준 1
(4)DA = AB 이므로, DA 위의 정사각형은 AB 위의 정사각형과 같다.(2), 공통관념 1
(5)양쪽에 AC 위의 정사각형을 더하면, DA·AC 위의 정사각형들의 합은 BA·AC 위의 정사각형들의 합과 같다.(4), 공통관념 2
(6)∠DAC 는 직각이므로, DC 위의 정사각형은 DA·AC 위의 정사각형들의 합과 같다.(1), I.47
(7)가정에 의해, BC 위의 정사각형은 BA·AC 위의 정사각형들의 합과 같다.가정
(8)그러므로 DC 위의 정사각형은 BC 위의 정사각형과 같고, 따라서 DC = BC 다.(5), (6), (7), 공통관념 1
(9)삼각형 DAC 와 삼각형 BAC 에서, DA = AB 이고 AC 는 공통이며 밑변 DC 는 밑변 BC 와 같다.(2), (8)
(10)세 변이 각각 같으므로, ∠DAC 는 ∠BAC 와 같다.(9), I.8
(11)∠DAC 는 직각이므로, ∠BAC 도 직각이다.(1), (10), 공통관념 1
둘 다 직각
이것이 보여야 했던 것이다.∎
비고
I.47 은 직각이면 등식을 주고, I.48 은 등식이면 직각을 준다. 역까지 증명해야 1권이 닫힌다 — 정리만으로는 등식을 보고 직각을 단정할 수 없기 때문이다. 이집트의 측량사들이 매듭 밧줄을 3·4·5 로 당겨 직각을 만들 때, 그 일을 정당화하는 것은 유명한 I.47 이 아니라 바로 이 역이다. 증명의 솜씨도 마무리답다. 직각을 하나 지어 붙인 뒤 방금 증명한 I.47 을 그 위에 쓰고, 1권 초입의 SSS(I.8)로 돌아가 두 삼각형을 포갠다. 첫머리의 도구와 절정의 정리가 마지막 한 편에서 맞물리며, 정리와 역이 쌍으로 책을 완성한다.