유클리드 원론 · 제2권 · 명제 1
증명하라.
두 직선이 있고 그 하나가 임의의 개수의 조각으로 잘려 있으면, 두 직선으로 둘러싸인 직사각형은 자르지 않은 직선과 각 조각으로 둘러싸인 직사각형들을 합친 것과 같다.
- 주어진 것
- 두 직선 A 와 BC. BC 는 점 D, E 에서 임의로 잘려 있다.
- 보여야 할 것
- 직사각형 A·BC 가 직사각형 A·BD, A·DE, A·EC 를 합친 것과 같음을 보이는 것. 오늘의 기호로는 a(b + c + d) = ab + ac + ad.
증명.
(1)B 에서 직선 BC 에 직각으로 BF 를 세운다.I.11
(2)BF 에서 A 와 같은 BG 를 잘라 낸다.I.3
(3)G 를 지나 BC 와 평행한 GH 를 긋는다.I.31
(4)D, E, C 를 지나 BG 와 평행한 DK, EL, CH 를 긋는다.I.31
(5)그러면 직사각형 BH 는 직사각형 BK, DL, EH 로 나뉜다.(3), (4)
(6)BH 는 GB 와 BC 로 둘러싸여 있고 BG = A 이므로, A 와 BC 의 직사각형이다.II.정의 1, (2)
(7)BK 는 GB 와 BD 로 둘러싸여 있고 BG = A 이므로, A 와 BD 의 직사각형이다.II.정의 1, (2)
(8)DL 은 A 와 DE 의 직사각형이다. DK 는 마주보는 변 BG 와 같고, BG 는 A 와 같기 때문이다.I.34, (2), II.정의 1
(9)같은 이유로 EH 도 A 와 EC 의 직사각형이다.I.34, (2), II.정의 1
(10)그러므로 A 와 BC 의 직사각형은 A·BD, A·DE, A·EC 의 직사각형들을 합친 것과 같다.(5), (6), (7), (8), (9)
전체 — A·BCA·BDA·DEA·EC
이것이 보여야 했던 것이다.∎
비고
오늘의 기호로 다시 읽으면 a(b + c + d) = ab + ac + ad, 분배법칙이다. 그러나 원론 어디에도 곱셈이 없다. 수조차 없다. '두 수의 곱'이 서야 할 자리에 '두 직선으로 둘러싸인 직사각형'이 서 있다. 문자 기호가 발명되기 이천 년 전, 유클리드는 수 없이 대수를 하는 길을 이렇게 냈다 — 길이는 선분으로, 곱은 넓이로, 등식은 도형의 분할로. 2권 열네 편 전체가 이 번역 사전 위에 서 있다. 본관의 증명 가운데 분배법칙 편과 나란히 놓고 읽어 보라. 같은 내용이 두 언어로 적혀 있다. 한쪽은 체의 공리에서 기호로 내려오고, 한쪽은 공준에서 도형으로 올라간다. 증명이 언어를 갈아입어도 살아남는다는 것, 그것이 이 명제가 보여 주는 또 하나의 사실이다.