유클리드 원론 · 제1권 · 명제 47
증명하라.
직각삼각형에서, 직각의 대변 위의 정사각형은 직각을 낀 두 변 위의 정사각형들의 합과 같다.
- 주어진 것
- 직각삼각형 ABC. ∠ACB 가 직각이다.
- 보여야 할 것
- AB 위의 정사각형이 CA 위의 정사각형과 CB 위의 정사각형의 합과 같음을 보이는 것.
증명.
(1)AB 위에 정사각형 ADEB 를, CA 위에 정사각형 AGFC 를, CB 위에 정사각형 CKHB 를 그린다.I.46
(2)C 를 지나 AD 와 BE 에 평행한 직선을 그어, AB 와 만나는 점을 M, DE 와 만나는 점을 L 이라 한다.I.31, 약속
(3)C 와 D 를, G 와 B 를 직선으로 잇는다.공준 1
(4)∠ACB 와 ∠ACF 는 둘 다 직각이므로, BC 와 CF 는 C 에서 한 직선을 이룬다.가정, (1), I.14
(5)∠DAB 와 ∠GAC 는 둘 다 직각이므로 같다. 양쪽에 ∠BAC 를 더하면, 전체 ∠DAC 는 전체 ∠GAB 와 같다.(1), 공준 4, 공통관념 2
(6)DA = AB 이고 GA = AC 이므로, 두 변과 낀 각이 각각 같아 삼각형 DAC 와 삼각형 BAG 는 같다.(1), (5), I.4
(7)직사각형 ADLM 은 삼각형 DAC 와 같은 밑변 AD 를 가지고 같은 평행선 AD·CL 사이에 있으므로, 그 두 배다.(2), I.41
(8)정사각형 AGFC 는 삼각형 BAG 와 같은 밑변 GA 를 가지고 같은 평행선 GA·FB 사이에 있으므로, 그 두 배다.(4), I.41
(9)같은 것들의 두 배는 서로 같으므로, 직사각형 ADLM 은 정사각형 AGFC 와 같다.(6), (7), (8), 공통관념 1
(10)C 와 E 를, A 와 H 를 직선으로 잇는다.공준 1
(11)∠BCA 와 ∠BCK 는 둘 다 직각이므로, AC 와 CK 는 C 에서 한 직선을 이룬다.가정, (1), I.14
(12)∠EBA 와 ∠HBC 는 둘 다 직각이므로 같고, 양쪽에 ∠ABC 를 더하면 ∠EBC = ∠HBA 다. EB = BA 이고 CB = BH 이므로, 삼각형 CBE 와 삼각형 ABH 는 같다.(1), 공준 4, 공통관념 2, I.4
(13)직사각형 MBEL 은 삼각형 CBE 의 두 배이고, 정사각형 CKHB 는 삼각형 ABH 의 두 배다.(2), (11), I.41
(14)그러므로 직사각형 MBEL 은 정사각형 CKHB 와 같다.(12), (13), 공통관념 1
(15)전체 정사각형 ADEB 는 두 직사각형 ADLM 과 MBEL 의 합이므로, 두 정사각형 AGFC 와 CKHB 의 합과 같다.(9), (14), 공통관념 2
빗변 위 정사각형정사각형 AGFC정사각형 CKHB
이것이 보여야 했던 것이다.∎
비고
이 증명은 닮음도 넓이 공식도 쓰지 않는다. 쓰는 도구는 합동(I.4)과 평행사변형의 두 배(I.41), 단 둘이다. 비례론은 5권에서야 나오므로, 유클리드는 비례 없이 도달할 수 있는 가장 먼 곳까지 1권 안에서 밀고 나가 여기서 끝을 맺는다. 도형의 별명은 풍차, 또는 신부의 의자다. 쇼펜하우어는 이 증명을 두고 이유는 감춘 채 결과만 강요하는 속임수라 불평했지만, 모든 줄이 번호를 인용한다는 사실이 그 답이다. 본관의 피타고라스 증명은 재배치와 닮음으로 같은 정리에 오른다 — 견줘 읽으면 두 길의 값이 보인다.