유클리드 원론 · 제2권 · 명제 3
증명하라.
직선을 임의로 자르면, 전체와 한 조각으로 둘러싸인 직사각형은 두 조각으로 둘러싸인 직사각형과 앞의 그 조각 위의 정사각형을 합친 것과 같다.
- 주어진 것
- 직선 AB. 점 C 에서 임의로 잘려 있다.
- 보여야 할 것
- 직사각형 AB·BC 가 직사각형 AC·CB 와 CB 위의 정사각형을 합친 것과 같음을 보이는 것. 오늘의 기호로는 (a + b)a = ba + a².
증명.
(1)CB 위에 정사각형 CDEB 를 그린다.I.46
(2)ED 를 D 너머까지 곧게 연장한다.공준 2
(3)A 를 지나 CD 또는 BE 와 평행한 직선을 그어, 연장선과 만나는 점을 F 라 한다.I.31, 약속
(4)그러면 직사각형 AE 는 직사각형 AD 와 정사각형 CE 로 나뉜다.(1), (2), (3)
(5)AE 는 AB 와 BE 로 둘러싸여 있고 BE = BC 이므로, AB 와 BC 의 직사각형이다.II.정의 1, 정의 22, (1)
(6)AD 는 AC 와 CD 로 둘러싸여 있고 DC = CB 이므로, AC 와 CB 의 직사각형이다.II.정의 1, 정의 22, (1)
(7)그리고 CE 는 CB 위의 정사각형이다.(1)
(8)그러므로 AB 와 BC 의 직사각형은 AC·CB 의 직사각형과 CB 위의 정사각형을 합친 것과 같다.(4), (5), (6), (7)
전체 — AB·BCAC·CB 의 직사각형CB 의 정사각형
이것이 보여야 했던 것이다.∎