유클리드 원론 · 제2권 · 명제 4
증명하라.
직선을 임의로 자르면, 전체 위의 정사각형은 두 조각 위의 정사각형들과 두 조각으로 둘러싸인 직사각형의 두 배를 합친 것과 같다.
- 주어진 것
- 직선 AB. 점 C 에서 임의로 잘려 있다.
- 보여야 할 것
- AB 위의 정사각형이 AC·CB 위의 정사각형들과 AC·CB 의 직사각형 두 배를 합친 것과 같음을 보이는 것. 오늘의 기호로는 (a + b)² = a² + 2ab + b².
증명.
(1)AB 위에 정사각형 ADEB 를 그린다.I.46
(2)B 와 D 를 직선으로 잇는다.공준 1
(3)C 를 지나 AD 또는 EB 와 평행한 CF 를 그어, BD 와 만나는 점을 G 라 한다.I.31, 약속
(4)G 를 지나 AB 또는 DE 와 평행한 HK 를 긋는다.I.31
(5)CF 는 AD 와 평행하고 BD 가 두 직선과 만나므로, 외각 ∠CGB 는 안쪽 반대편 각 ∠ADB 와 같다.I.29, (2), (3)
(6)그런데 변 BA 와 AD 가 같으므로 ∠ADB = ∠ABD 이다.I.5, 정의 22, (1)
(7)그러므로 ∠CGB = ∠GBC 이고, 변 BC 도 변 CG 와 같다.(5), (6), I.6
(8)그런데 CB = GK 이고 CG = KB 이다. 평행사변형의 마주보는 변이기 때문이다.I.34, (3), (4)
(9)그러므로 GK = KB 이고, CGKB 는 등변이다.(7), (8), 공통관념 1
(10)CG 는 BK 와 평행하고 CB 가 두 직선과 만나므로, ∠KBC 와 ∠GCB 의 합은 두 직각과 같다.I.29, (3), (4)
(11)∠KBC 는 정사각형의 각이라 직각이므로 ∠BCG 도 직각이고, 마주보는 각 ∠CGK 와 ∠GKB 도 직각이다.(10), 정의 22, 공준 4, 공통관념 3, I.34
(12)그러므로 CGKB 는 등변이고 직각이니 정사각형이며, CB 위에 서 있다.(9), (11), 정의 22
(13)같은 이유로 HF 도 정사각형이며, HG 곧 AC 위에 서 있다.I.34, (3), (4)
(14)이제 AG 는 GE 와 같다. 대각선 BD 곁의 두 보형이기 때문이다.I.43, (2), (3), (4)
(15)AG 는 AC 와 CG 로 둘러싸여 있고 CG = CB 이므로 AC 와 CB 의 직사각형이다. 그러므로 GE 도 AC·CB 의 직사각형과 같다.II.정의 1, (7), (14)
(16)그러므로 AG 와 GE 를 합친 것은 AC 와 CB 의 직사각형의 두 배다.(14), (15)
(17)정사각형 HF 와 CK 는 AC 와 CB 위의 정사각형들이다. 그러므로 네 도형 HF, CK, AG, GE 를 합친 것은 AC·CB 위의 정사각형들과 AC·CB 의 직사각형 두 배를 합친 것과 같다.(12), (13), (16), 공통관념 2
(18)그런데 HF, CK, AG, GE 를 합치면 정사각형 ADEB 전체, 곧 AB 위의 정사각형이다. 그러므로 AB 위의 정사각형은 AC·CB 위의 정사각형들과 AC·CB 의 직사각형 두 배를 합친 것과 같다.(1), (17), 공통관념 1
정사각형 HF정사각형 CK직사각형 AG직사각형 GE
이것이 보여야 했던 것이다.∎
비고
(a + b)² = a² + 2ab + b². 중학교에서 외우는 곱셈공식의 원형이 이 명제다. 전개식은 원래 식이 아니라 그림 한 장이었다 — 정사각형을 넷으로 자른 그림. 큰 정사각형 (a+b)² 안에 두 정사각형 a², b² 와 두 직사각형 ab 가 남김없이 들어차 있다. 식에서는 '두 배'가 어디서 오는지 외워야 하지만, 그림에서는 보인다. 대각선 양쪽의 두 보형이 똑같기 때문이다(I.43). 항이 넷인 이유도 보인다. 자름선 두 개가 정사각형을 정확히 네 방으로 가르기 때문이다. 본관 증명 23(곱셈공식)과 개념 실험실의 공식 해부도는 모두 이 그림의 후손이다. 이천삼백 년 동안 같은 그림이 교실에 걸려 있는 셈이다.