유클리드 원론 · 제2권 · 명제 5
증명하라.
직선을 같게 자르고 또 다르게 자르면, 다른 두 조각으로 둘러싸인 직사각형과 두 자름점 사이 직선 위의 정사각형을 합친 것은 반 위의 정사각형과 같다.
- 주어진 것
- 직선 AB. 점 C 에서 같게 잘리고(AC = CB), 점 D 에서 다르게 잘려 있다.
- 보여야 할 것
- 직사각형 AD·DB 와 CD 위의 정사각형을 합친 것이 CB 위의 정사각형과 같음을 보이는 것. 오늘의 기호로는 ab + ((a+b)/2 − b)² = ((a+b)/2)².
증명.
(1)CB 위에 정사각형 CEFB 를 그린다.I.46
(2)B 와 E 를 직선으로 잇는다.공준 1
(3)D 를 지나 CE 또는 BF 와 평행한 DG 를 그어, BE 와 만나는 점을 H 라 한다.I.31, 약속
(4)H 를 지나 AB 또는 EF 와 평행한 KM 을 긋고, CE 와 만나는 점을 L 이라 한다.I.31, 약속
(5)A 를 지나 CL 또는 BM 과 평행한 AK 를 긋는다.I.31
(6)보형 CH 는 보형 HF 와 같다.I.43, (2), (3), (4)
(7)각각에 DM 을 더하면, 전체 CM 은 전체 DF 와 같다.(6), 공통관념 2
(8)그런데 AC = CB 이므로 CM 은 AL 과 같다.I.36, 가정, (4), (5)
(9)그러므로 AL 도 DF 와 같다.(7), (8), 공통관념 1
(10)각각에 CH 를 더하면, 전체 AH 는 CH 와 DF 를 합친 그노몬과 같다.(9), 공통관념 2, II.정의 2
(11)그런데 DH = DB 이다. DG 가 CE 와 평행하여 ∠BHD = ∠BEC 이고, CE = CB 라 ∠BEC = ∠EBC 이므로, ∠BHD = ∠HBD 이기 때문이다.I.29, I.5, I.6, 정의 22, (1), (2), (3)
(12)그러므로 AH 는 AD 와 DB 로 둘러싸인 직사각형이고, 그 그노몬도 AD·DB 의 직사각형과 같다.II.정의 1, (10), (11), 공통관념 1
(13)각각에, CD 위의 정사각형과 같은 LG 를 더한다. LH 가 마주보는 변 CD 와 같기 때문이다.I.34, (3), (4), 공통관념 2
(14)그러면 그노몬과 LG 의 합은 AD·DB 의 직사각형과 CD 위의 정사각형의 합과 같다.(12), (13)
(15)그런데 그노몬과 LG 를 합치면 정사각형 CEFB 전체, 곧 CB 위의 정사각형이다.(1), II.정의 2
(16)그러므로 AD·DB 의 직사각형과 CD 위의 정사각형을 합친 것은 CB 위의 정사각형과 같다.(14), (15), 공통관념 1
AD·DB 의 직사각형CD 의 정사각형CB 의 정사각형
이것이 보여야 했던 것이다.∎