유클리드 원론 · 제2권 · 명제 6
증명하라.
직선을 이등분하고 어떤 직선을 그것과 한 직선을 이루도록 이어 붙이면, 이어 붙인 직선을 포함한 전체와 이어 붙인 직선으로 둘러싸인 직사각형과 반 위의 정사각형을 합친 것은, 반과 이어 붙인 직선을 합친 직선 위의 정사각형과 같다.
- 주어진 것
- 직선 AB 가 점 C 에서 이등분되어 있다(AC = CB). 직선 BD 가 AB 와 한 직선을 이루도록 이어 붙어 있다.
- 보여야 할 것
- 직사각형 AD·DB 와 CB 위의 정사각형을 합친 것이 CD 위의 정사각형과 같음을 보이는 것.
증명.
(1)CD 위에 정사각형 CEFD 를 그린다.I.46
(2)D 와 E 를 직선으로 잇는다.공준 1
(3)B 를 지나 EC 또는 DF 와 평행한 BG 를 그어, DE 와 만나는 점을 H 라 한다.I.31, 약속
(4)H 를 지나 AB 또는 EF 와 평행한 KM 을 긋고, CE 와 만나는 점을 L 이라 한다.I.31, 약속
(5)A 를 지나 CL 또는 DM 과 평행한 AK 를 긋는다.I.31
(6)AC = CB 이므로 AL 은 CH 와 같다.I.36, 가정, (4), (5)
(7)그런데 CH 는 HF 와 같다. 대각선 DE 곁의 두 보형이기 때문이다.I.43, (2), (3), (4)
(8)그러므로 AL 도 HF 와 같다.(6), (7), 공통관념 1
(9)각각에 CM 을 더하면, 전체 AM 은 CM 과 HF 를 합친 그노몬과 같다.(8), 공통관념 2, II.정의 2
(10)그런데 DM = DB 이다. BG 가 CE 와 평행하여 ∠DHB = ∠DEC 이고, CE = CD 라 ∠DEC = ∠EDC 여서 BH = BD 인데, BH 는 마주보는 변 DM 과 같기 때문이다.I.29, I.5, I.6, I.34, 정의 22, (1), (2), (3)
(11)그러므로 AM 은 AD 와 DB 로 둘러싸인 직사각형이고, 그 그노몬도 AD·DB 의 직사각형과 같다.II.정의 1, (9), (10), 공통관념 1
(12)각각에, CB 위의 정사각형과 같은 LG 를 더한다. LH 가 마주보는 변 CB 와 같기 때문이다.I.34, (3), (4), 공통관념 2
(13)그러면 그노몬과 LG 의 합은 AD·DB 의 직사각형과 CB 위의 정사각형의 합과 같다.(11), (12)
(14)그런데 그노몬과 LG 를 합치면 정사각형 CEFD 전체, 곧 CD 위의 정사각형이다.(1), II.정의 2
(15)그러므로 AD·DB 의 직사각형과 CB 위의 정사각형을 합친 것은 CD 위의 정사각형과 같다.(13), (14), 공통관념 1
AD·DB 의 직사각형CB 의 정사각형CD 의 정사각형
이것이 보여야 했던 것이다.∎