유클리드 원론 · 제2권 · 명제 7
증명하라.
직선을 임의로 자르면, 전체 위의 정사각형과 한 조각 위의 정사각형을 합친 것은 전체와 그 조각으로 둘러싸인 직사각형의 두 배와 남은 조각 위의 정사각형을 합친 것과 같다.
- 주어진 것
- 직선 AB. 점 C 에서 임의로 잘려 있다.
- 보여야 할 것
- AB 위의 정사각형과 BC 위의 정사각형을 합친 것이 AB·BC 의 직사각형 두 배와 CA 위의 정사각형을 합친 것과 같음을 보이는 것. 오늘의 기호로는 (a + b)² + a² = 2(a + b)a + b².
증명.
(1)AB 위에 정사각형 ADEB 를 그린다.I.46
(2)B 와 D 를 직선으로 잇는다.공준 1
(3)C 를 지나 AD 또는 EB 와 평행한 CN 을 그어, BD 와 만나는 점을 G 라 한다.I.31, 약속
(4)G 를 지나 AB 또는 DE 와 평행한 HF 를 긋는다.I.31
(5)그러면 II.4 에서와 같이, CF 는 CB 위의 정사각형이고 DG 는 AC 위의 정사각형이다.II.4, (1), (2), (3), (4)
(6)AG 는 GE 와 같다. 대각선 BD 곁의 두 보형이기 때문이다.I.43, (2), (3), (4)
(7)각각에 정사각형 CF 를 더하면, 전체 AF 는 전체 CE 와 같다.(6), 공통관념 2
(8)그러므로 AF 와 CE 를 합친 것은 AF 의 두 배다.(7)
(9)그런데 AF 와 CE 를 합친 것은, 정사각형 CF 와 두 보형 AG, GE 를 합친 그노몬에 정사각형 CF 를 다시 합친 것이다.II.정의 2, (6), (7)
(10)그러므로 그 그노몬과 정사각형 CF 의 합은 AF 의 두 배다.(8), (9)
(11)그런데 AB 와 BC 의 직사각형의 두 배도 AF 의 두 배다. BF = BC 이므로 AF 는 AB 와 BF, 곧 AB 와 BC 로 둘러싸인 직사각형이기 때문이다.II.정의 1, (5)
(12)그러므로 그노몬과 정사각형 CF 의 합은 AB·BC 의 직사각형의 두 배와 같다.(10), (11), 공통관념 1
(13)각각에, AC 위의 정사각형인 DG 를 더하면, 그노몬과 두 정사각형 CF, DG 의 합은 AB·BC 의 직사각형의 두 배와 AC 위의 정사각형의 합과 같다.(5), (12), 공통관념 2
(14)그런데 그노몬과 두 정사각형 CF, DG 를 합치면 정사각형 ADEB 전체와 정사각형 CF, 곧 AB 와 BC 위의 정사각형들이다.(1), (5), II.정의 2
(15)그러므로 AB 위의 정사각형과 BC 위의 정사각형을 합친 것은 AB·BC 의 직사각형의 두 배와 CA 위의 정사각형을 합친 것과 같다.(13), (14), 공통관념 1
AB 의 정사각형BC 의 정사각형AB·BC — 의 두 배CA 의 정사각형
이것이 보여야 했던 것이다.∎