유클리드 원론 · 제2권 · 명제 8
증명하라.
직선을 임의로 자르면, 전체와 한 조각이 만드는 직사각형의 네 배와 남은 조각 위 정사각형의 합은, 전체와 그 조각을 한 직선으로 이어 붙인 것 위의 정사각형과 같다.
- 주어진 것
- 직선 AB 가 C 에서 잘려 있다.
- 보여야 할 것
- AB·BC 직사각형의 네 배와 AC 위 정사각형의 합이, AB 에 BC 를 이어 붙인 직선 위 정사각형과 같음을 보이는 것. 오늘의 기호로 4ab + (a−b)² = (a+b)² 꼴의 항등식이다.
증명.
(1)AB 를 B 너머 D 까지 연장하고, BD 를 CB 와 같게 잡는다.공준 2, I.3
(2)그러면 AD 는 전체 AB 에 조각 CB 와 같은 것을 한 직선으로 이어 붙인 직선이다.(1), 공통관념 2
(3)AD 위에 정사각형 AEFD 를 세우고, B 를 지나 변 AE 에 평행한 직선으로 나눈다.I.46, I.31
(4)직선 AD 는 B 에서 잘려 있으므로, AD 위 정사각형은 AB 위 정사각형과 BD 위 정사각형과 AB·BD 직사각형 두 배의 합과 같다.(1), (3), II.4
(5)BD = CB 이므로, 그 합은 AB 위 정사각형과 CB 위 정사각형과 AB·CB 직사각형 두 배의 합이다.(1), (4), 공통관념 1
(6)그런데 AB 는 C 에서 잘려 있으므로, AB 위 정사각형과 CB 위 정사각형의 합은 AB·CB 직사각형 두 배와 AC 위 정사각형의 합과 같다.가정, II.7
(7)그러므로 AD 위 정사각형은 AB·CB 직사각형 네 배와 AC 위 정사각형의 합과 같다.(2), (5), (6), 공통관념 1, 공통관념 2
AD 위 정사각형AB·CB 직사각형 네 배AC²
이것이 보여야 했던 것이다.∎