유클리드 원론 · 제2권 · 명제 10

증명하라.

직선을 이등분하고 거기에 한 직선을 한 직선으로 이어 붙이면, 전체(이어 붙인 것 포함) 위 정사각형과 붙인 직선 위 정사각형의 합은, 반 위 정사각형과 반에 붙인 직선을 더한 것 위 정사각형의 합의 두 배와 같다.

증명.

(1)C 에서 AB 에 수선 CE 를 세우고 CE = AC 로 잡은 뒤, E 와 A, E 와 B 를 잇는다.I.11, I.3, 공준 1

(2)E 를 지나 AD 에 평행한 직선과 D 를 지나 CE 에 평행한 직선을 긋는다. 두 직선에 ED 가 떨어져 안쪽 각의 합이 두 직각보다 작으므로, 두 직선은 만난다. 그 점을 F 라 한다.I.31, I.29, 공준 5, 약속

(3)CA = CE 이므로 ∠EAC 와 ∠AEC 는 각각 직각의 반이고, CB = CE 이므로 ∠CEB 와 ∠CBE 도 각각 직각의 반이다. 그러므로 ∠AEB 는 직각이다.(1), 가정, 공통관념 1, I.5, I.32, 공통관념 2

(4)EB 의 연장과 FD 의 연장도 안쪽 각의 합이 두 직각보다 작으므로 만난다. 그 점을 G 라 하고, A 와 G 를 잇는다.(2), (3), I.29, 공준 5, 공준 2, 공준 1, 약속

(5)∠DBG 는 ∠CBE 의 맞꼭지각이므로 직각의 반이고, ∠BDG 는 직각이므로 ∠DGB 도 직각의 반이다. 그러므로 BD = DG.(2), (3), (4), I.15, I.29, I.32, I.6

(6)∠EFD 는 직각이고 ∠FEG 는 직각의 반이므로, ∠FGE 도 직각의 반이다. 그러므로 EF = FG.(2), (3), (4), I.29, I.32, I.6

(7)CA = CE 이고 C 의 각이 직각이므로, EA 위 정사각형은 AC 위 정사각형의 두 배다.(1), I.47

(8)∠EFG 가 직각이고 EF = FG 이므로 EG 위 정사각형은 EF 위 정사각형의 두 배이고, EF = CD 이므로 CD 위 정사각형의 두 배다.(2), (6), I.47, I.34

(9)∠AEG 는 직각이므로 AG 위 정사각형은 AE 위 정사각형과 EG 위 정사각형의 합 — 곧 AC 위 정사각형과 CD 위 정사각형의 합의 두 배다.(3), (4), (7), (8), I.47, 공통관념 2

(10)∠ADG 도 직각이므로 AG 위 정사각형은 AD 위 정사각형과 DG 위 정사각형의 합이고, DG = DB 이다.(2), (4), (5), I.29, I.47

(11)그러므로 AD 위 정사각형과 DB 위 정사각형의 합은, AC 위 정사각형과 CD 위 정사각형의 합의 두 배다.(9), (10), 공통관념 1

AD² + DB²AC² + CD² 의 두 배

이것이 보여야 했던 것이다.∎