유클리드 원론 · 제2권 · 명제 11
작도하라.
주어진 직선을, 전체와 한 조각이 만드는 직사각형이 남은 조각 위 정사각형과 같도록 잘라라.
- 주어진 것
- 직선 AB.
- 해야 할 것
- AB 위의 점 H 로서, AB·BH 직사각형이 AH 위 정사각형과 같게 되는 점을 찾는 것.
작도.
(1)AB 위에 정사각형 ABDC 를 세운다.I.46
(2)변 AC 를 E 에서 이등분하고, B 와 E 를 잇는다.I.10, 공준 1
(3)CA 를 A 너머로 연장하고, EF = EB 가 되도록 F 를 잡는다.공준 2, I.3
(4)AF 위에 정사각형 FGHA 를 세운다. 점 H 는 AB 위에 놓인다.I.46
(5)직선 CF 는 E 에서 이등분되어 있고 거기에 FA 가 더해져 있으므로, CF·FA 직사각형과 AE 위 정사각형의 합은 EF 위 정사각형과 같다.(2), (3), II.6
(6)EF = EB 이므로, 그 합은 EB 위 정사각형과 같다.(3), 공통관념 1
(7)A 의 각은 직각이므로, EB 위 정사각형은 AB 위 정사각형과 AE 위 정사각형의 합과 같다.(1), (2), I.47
(8)그러므로 CF·FA 직사각형과 AE 위 정사각형의 합은 AB 위 정사각형과 AE 위 정사각형의 합과 같고, 공통인 AE 위 정사각형을 빼면 CF·FA 직사각형은 AB 위 정사각형과 같다.(5), (6), (7), 공통관념 3
(9)H 를 지나 AC 에 평행한 직선이 CD 와 만나는 점을 K 라 하면, FG = FA 이므로 CF·FA 직사각형은 도형 FK 이고, AB 위 정사각형은 도형 AD 이다.(1), (4), I.31, 약속, II.정의 1
(10)같은 두 도형 FK 와 AD 에서 공통인 AK 를 빼면, 남는 FH 와 HD 는 서로 같다.(8), (9), 공통관념 3
(11)FH 는 AH 위 정사각형이고 HD 는 AB·BH 직사각형(BD = AB)이므로, AB 는 H 에서 요구대로 잘렸다 — AB·BH 직사각형이 AH 위 정사각형과 같다.(1), (4), (10), 공통관념 1
AH² (= FH)조각 BH전체 AB
이것이 해야 했던 작도다.∎
비고
이 자름의 비율을 지금은 황금비라 부른다. 그러나 원론에는 그 이름도, 1.618… 이라는 값도 없다. 있는 것은 조건 하나 — 직사각형과 정사각형이 같도록. 값은 비례론(5권)과 무리수론(10권)이 선 뒤에야 말할 수 있고, 이름은 2000년 뒤에 붙었다. 이 작도의 존재 이유는 미학이 아니라 실무다 — 4권에서 정오각형을 그리려면 이 자름이 필요하다. 이름은 늦게 오고, 도구는 먼저 온다.