유클리드 원론 · 제2권 · 명제 12
증명하라.
둔각삼각형에서 둔각의 대변 위 정사각형은, 둔각을 낀 두 변 위 정사각형들의 합보다 — 수선이 떨어지는 변과, 둔각 쪽에서 수선의 발까지 밖으로 잘린 직선이 만드는 직사각형의 두 배만큼 — 크다.
- 주어진 것
- 삼각형 ABC. C 의 각이 둔각이다.
- 보여야 할 것
- AC 를 C 너머로 연장해 B 에서 내린 수선의 발을 D 라 할 때, AB 위 정사각형이 AC·CB 위 정사각형들의 합보다 AC·CD 직사각형 두 배만큼 큼을 보이는 것.
증명.
(1)AC 를 C 너머로 연장하고, B 에서 그 연장선에 수선 BD 를 내린다.공준 2, I.12
(2)직선 AD 는 C 에서 잘려 있으므로, AD 위 정사각형은 AC 위 정사각형과 CD 위 정사각형과 AC·CD 직사각형 두 배의 합과 같다.(1), II.4
(3)D 의 각은 직각이므로, AB 위 정사각형은 AD 위 정사각형과 DB 위 정사각형의 합과 같다.(1), I.47
(4)같은 이유로, CB 위 정사각형은 CD 위 정사각형과 DB 위 정사각형의 합과 같다.(1), I.47
(5)그러므로 AB 위 정사각형은 AC 위 정사각형, CD 위 정사각형, DB 위 정사각형, 그리고 AC·CD 직사각형 두 배의 합과 같다.(2), (3), 공통관념 1
(6)그런데 CD 위 정사각형과 DB 위 정사각형의 합은 CB 위 정사각형이다.(4)
(7)그러므로 AB 위 정사각형은 AC 위 정사각형과 CB 위 정사각형과 AC·CD 직사각형 두 배의 합과 같다 — 두 변 위 정사각형들의 합보다 꼭 그만큼 크다.(5), (6), 공통관념 1, 공통관념 2
AB²AC²CB²밖으로 잘린 CD
이것이 보여야 했던 것이다.∎